ХИ-КВАДРА́Т РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

ХИ-КВАДРА́Т РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ($χ^2$-рас­пре­де­ле­ние) с $n$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей, плот­ность ко­то­ро­го $$k_n(x)=\frac{1}{2^{n/2}Γ(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2}, \\ x > 0, n ⩾ 1, и k_n(x)=0, x ⩽ 0,$$ где $Γ(·)$ – гам­ма функ­ция. Ма­те­ма­тич. ожи­да­ние и дис­пер­сия рав­ны со­от­вет­ст­вен­но $n$ и $2n$. Хи-к. р. мо­жет быть по­лу­че­но как рас­пре­де­ле­ние сум­мы квад­ра­тов $χ_n^2=X_1^2+...X_n^2n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, имею­щих стан­дарт­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние. Сум­ма не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $χ_{n_1}^2+...χ_{n_k}^2$, имею­щих Хи-к. р. с $n_1$, $...$, $n_k$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды, име­ет Хи-к. р. с $n=n_1+ ...+n_k$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды.

Бла­го­да­ря тес­ной свя­зи с нор­маль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем Хи-к. р. иг­ра­ет важ­ную роль в тео­рии ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке, в ча­ст­но­сти оно ис­поль­зу­ет­ся в хи-квад­рат кри­те­рии, ос­но­ван­ном на хи-квад­рат ста­ти­сти­ке Пир­со­на.

Име­ют­ся под­роб­ные таб­ли­цы Хи-к. р., удоб­ные для прак­тич. рас­чё­тов. Со­глас­но цен­траль­ной пре­дель­ной тео­ре­ме, рас­пре­де­ле­ние нор­ми­ро­ван­ной ве­ли­чи­ны $(χ_n^2-n)/sqrt{2}$ при $n→∞$ стре­мит­ся к стан­дарт­но­му нор­маль­но­му рас­пре­де­ле­нию, т. е. для лю­бо­го $x$ $$\mathsf{P}\left\{ \frac{χ_n^2 -n}{\sqrt{2n}} < x \right\} \rightarrow Φ(x)\, n→∞;$$бо­лее точ­ная ап­прок­си­ма­ция:$$\mathsf{P}\left\{ χ_n^2 < x \right\} - Φ(\sqrt{2x}-\sqrt{2n-1})\rightarrow 0,\,n→∞,$$ где $Φ(x)$ – функ­ция рас­пре­де­ле­ния стан­дарт­но­го нор­маль­но­го за­ко­на.