ХИ-КВАДРА́Т РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ХИ-КВАДРА́Т РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ (χ^2-распределение) с n степенями свободы, распределение вероятностей, плотность которого k_n(x)=\frac{1}{2^{n/2}Γ(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2}, \\ x > 0, n ⩾ 1, и k_n(x)=0, x ⩽ 0, где Γ(·) – гамма функция. Математич. ожидание и дисперсия равны соответственно n и 2n. Хи-к. р. может быть получено как распределение суммы квадратов χ_n^2=X_1^2+...X_n^2n независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Сумма независимых случайных величин χ_{n_1}^2+...χ_{n_k}^2, имеющих Хи-к. р. с n_1, ..., n_k степенями свободы, имеет Хи-к. р. с n=n_1+ ...+n_k степенями свободы.
Благодаря тесной связи с нормальным распределением Хи-к. р. играет важную роль в теории вероятностей и математич. статистике, в частности оно используется в хи-квадрат критерии, основанном на хи-квадрат статистике Пирсона.
Имеются подробные таблицы Хи-к. р., удобные для практич. расчётов. Согласно центральной предельной теореме, распределение нормированной величины (χ_n^2-n)/sqrt{2} при n→∞ стремится к стандартному нормальному распределению, т. е. для любого x \mathsf{P}\left\{ \frac{χ_n^2 -n}{\sqrt{2n}} < x \right\} \rightarrow Φ(x)\, n→∞;более точная аппроксимация:\mathsf{P}\left\{ χ_n^2 < x \right\} - Φ(\sqrt{2x}-\sqrt{2n-1})\rightarrow 0,\,n→∞, где Φ(x) – функция распределения стандартного нормального закона.