ХИ-КВАДРА́Т КРИТЕ́РИЙ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ХИ-КВАДРА́Т КРИТЕ́РИЙ ($χ^2$-критерий), критерий проверки различных статистических гипотез, основанный на хи-квадрат распределении. Пусть, напр., результаты наблюдений $X_1$, $...$, $X_n$ являются взаимно независимыми случайными величинами, имеющими одно и то же нормальное распределение с неизвестными параметрами $a$ и $σ^2$. Для проверки гипотезы $σ^2=σ_0^2$, где $σ_0^2$ – заданное число, пользуются Хи-к. к. в следующей форме: если для чисел $x_1 < x_2$, о выборе которых сказано ниже $$x_1 \leqslant \frac{1}{σ_0^2}\sum_{i=0}^n (X_i - \overline X)^2 \leqslant x_2,$$, где $$\overline X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,$$то полагают, что результаты наблюдений не противоречат гипотезе $σ^2=σ_0^2$, если же одно из этих неравенств нарушается, то считают расхождение значимым со значимости уровнем α и гипотезу отклоняют. Числа $x_1$, $x_2$ выбирают по заданному $α$ на основании того, что при гипотезе $σ^2=σ_0^2$ статистика $$\frac{1}{σ_0^2}\sum_{i=0}^n (X_i - \overline X)^2$$ имеет хи-квадрат распределение с $n-1$ степенями свободы, т. е. $x_1$, $x_2$ находятся из уравнений $$\int_0^{x_1} k_(n-1)(x)dx=\frac{α}{2},\\ \int_{x_2}^{\infty} k_(n-1)(x)dx=\frac{α}{2}.$$
Наиболее известно применение Хи-к. к. как критерия согласия Пирсона в следующей задаче. Пусть в серии $n$ повторных независимых испытаний с исходами $A_1$, $...$, $A_m$ получен результат ($X_1$, $...$, $X_m$), где $X_j$ – случайное число осуществлений исхода $A_j$, так что $X_1+...+X_m=n$. Проверяется гипотеза о том, что вектор ($X_1$, $...$, $X_m$) имеет полиномиальное распределение с соответственными вероятностями $p_1$, $...$, $p_m$, $p_j > 0$, $p_1+...+p_m=1$. Хи-к. к. для этой гипотезы основан на хи-квадрат статистике Пирсона $$χ^2=\sum_{j=1}^m \frac{(X_j-np_j)^2}{np_j},$$ которая в пределе при $n→∞$ имеет хи-квадрат распределение с $m-1$ степенями свободы. Согласно Хи-к. к. с уровнем значимости, приближённо равным $α$, гипотезу согласия отвергают, если $χ^2 \geqslant χ^2_{m-1}(α)$, где $χ^2_{m-1}(α)$находят из соотношения $$\int_{χ^2_{m-1}(α)}^{\infty} k_{m-1}(x)dx=α.$$