КВАНТИ́ЛЬ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КВАНТИ́ЛЬ, числовая характеристика случайной величины $X$ и соответствующей функции распределения $F(x)=P(X \lt x)$, $- \infty \lt x \lt \infty$; К. порядка $p$, $0 \lt p \lt 1$, – число $K_p$ такое, что $F(K_p) \leq p$ и $F(K_p+0) \geq p$, где $F(K_p)+0=\displaystyle\lim_{\varepsilon>0, \varepsilon \to 0} f(K_p+ \varepsilon).$ К. любого порядка $p$ либо единственна, либо значения $K_p$ заполняют некоторый отрезок действительной оси. Если $F(x)$ – строго монотонная функция, то К. любого порядка единственна.
К. $K_{1/2}$ называется медианой случайной величины $X$. В математич. статистике используется понятие выборочной медианы (см. Вариационный ряд). К. $K_{m/n}$, где $m=1, \dots, n-1, n=2,3, \dots,$ дают в случае их единственности тем лучшее представление о виде функции $F(x)$, чем больше число $n$. При $n=4$ (и $m=1$, $m=3$) К. $K_{m/n}$ называются квартилями, при $n=10$ – децилями, при $n=100$ – перцентилями.
Величины $(K_{3/4}- K_{1/4})/2$ и $K_{9/10}- K_{1/10}$ иногда используются в качестве характеристик рассеяния распределения и называются соответственно семиинтерквартильной широтой и интердецильной широтой.
Знание К. для достаточно представительного множества значений $p$, $0 \lt p \lt 1$, позволяет получить представление о виде функции распределения. В частности, график функции распределения стандартного нормального закона $$Ф(x)= \frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{-z^2/2}dz$$можно получить (рис.) по децилям K0,1 = –1,28, K0,2 = –0,84, K0,3 = –0,52, K0,4 = –0,25, K0,5 =0, K0,6 = 0,25, K0,7 = 0,52, K0,8 = 0,84, K0,9 = 1,28. Квартили нормального распределения $Ф(x)$ суть K1/4 = –0,67, K3/4 = 0,67.