СЛУЧА́ЙНОЕ БЛУЖДА́НИЕ

СЛУЧА́ЙНОЕ БЛУЖДА́НИЕ, слу­чай­ный про­цесс спе­ци­аль­но­го ви­да, ис­то­ри­че­ски свя­зан­ный с мо­де­лью пе­ре­ме­ще­ния час­ти­цы под дей­ст­ви­ем не­ко­то­ро­го слу­чай­но­го ме­ха­низ­ма. Обыч­но рас­смат­ри­ва­ет­ся С. б., по­ро­ж­дае­мое сум­ма­ми вза­им­но не­за­ви­си­мых оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных слу­чай­ных ве­ли­чин X₁,X₂,..., или Мар­ко­ва це­пя­ми. Пусть S₀=0, S_n=X₁+...+X_n, то­гда по­сле­до­ва­тель­ность то­чек с ко­ор­ди­на­та­ми (n,S_n), n= 0,1,2,..., опи­сы­ва­ет тра­ек­то­рию С. б. Ос­нов­ные чер­ты об­щих С. б. мож­но по­ка­зать на при­ме­ре про­стей­ше­го С. б., по­ро­ж­дае­мо­го Бер­нул­ли схе­мой. Рас­смат­ри­ва­ет­ся час­ти­ца, ко­то­рая дви­жет­ся («блу­ж­да­ет») по це­лым точ­кам дей­ст­вит. оси. При t=0 час­ти­ца на­хо­дит­ся в точ­ке 0, её по­ло­же­ние ме­ня­ет­ся толь­ко в дис­крет­ные мо­мен­ты вре­ме­ни 1, 2, ... . На ка­ж­дом ша­ге час­ти­ца пе­ре­дви­га­ет­ся на 1 впра­во или вле­во с ве­ро­ят­но­стя­ми p и q=1-p со­от­вет­ст­вен­но, не­за­ви­си­мо от пред­ше­ст­вую­ще­го дви­же­ния. Обыч­но С. б. изо­бра­жа­ют гео­мет­ри­че­ски, ука­зывая на оси абс­цисс мо­мен­ты вре­ме­ни 0, 1, 2,..., а на оси ор­ди­нат – по­ло­же­ния час­ти­цы на дей­ст­вит. оси. Пусть X_j – слу­чай­ная ве­ли­чи­на, рав­ная ве­ли­чи­не пе­ре­ме­ще­ния час­ти­цы на j-м ша­ге, т. е. X_j=1 с ве­ро­ят­но­стью p и X_j=–1 с ве­ро­ят­но­стью q. То­гда X₁,X₂,... об­ра­зу­ют по­сле­до­ва­тель­ность не­за­ви­си­мых бер­нул­ли­ев­ских слу­чай­ных ве­ли­чин. Ор­ди­на­та час­ти­цы в мо­мент n рав­на сум­ме S_n=X₁+...+X_n. Гра­фик та­ко­го С. б. да­ёт на­гляд­ное пред­став­ле­ние о по­ве­де­нии на­рас­таю­щих сумм слу­чай­ных ве­ли­чин, при­чём мн. за­ко­но­мер­но­сти со­хра­ня­ют­ся и для сумм зна­чи­тель­но бо­лее об­щих слу­чай­ных ве­ли­чин. Час­то С. б., как од­но­мер­ные, так и их мно­го­мер­ные обоб­ще­ния, ис­поль­зу­ют­ся для при­бли­жён­но­го опи­са­ния про­цес­сов диф­фу­зии и бро­унов­ско­го дви­же­ния час­тиц. При ана­ли­зе С. б. воз­ни­ка­ет ряд спе­ци­фич. за­дач, напр. о рас­пре­де­ле­нии мак­си­му­ма по­сле­до­ва­тель­но­сти сумм, о рас­пре­де­ле­нии пер­во­го мо­мен­та дос­ти­же­ния не­ко­то­рой точ­ки, о воз­вра­ще­нии С. б. в точ­ку нуль. Так, ве­ро­ят­ность хо­тя бы од­но­го воз­враще­ния в нуль рав­на 1 при p=q=¹/₂ (сим­мет­рич­ный слу­чай) и мень­ше 1 при p≠q. При p>q или при p<q час­ти­ца ухо­дит с ве­ро­ят­но­стью 1 на +∞ или на –∞ со­от­вет­ст­вен­но. В сим­мет­ричном слу­чае вре­мя до N-го воз­вра­ще­ния в нуль рас­тёт как N², а сред­нее чис­ло воз­вра­ще­ний за 2n ша­гов рас­тёт как $\sqrt{n}$. От­сю­да сле­ду­ет не­ожи­дан­ный вы­вод: в сим­мет­рич­ных С. б. про­ме­жут­ки ме­ж­ду по­сле­до­ва­тель­ны­ми воз­вра­ще­ния­ми в нуль ста­но­вят­ся по­ра­зи­тель­но длин­ны­ми.

С. б. воз­ни­ка­ют как в тео­ре­тич. за­да­чах, так и в при­ло­же­ни­ях тео­рии ве­роят­но­стей, напр. в по­сле­до­ва­тель­ном ана­ли­зе и мас­со­во­го об­слу­жи­ва­ния тео­рии.