ОШИ́БОК ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОШИ́БОК ТЕО́РИЯ, раздел математической статистики, посвящённый построению выводов о численных значениях приближённо измеренных величин и об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, разл. результаты, т. к. каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают три осн. вида ошибок: систематич., грубые и случайные. Систематич. ошибки постоянно либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерит. приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на результаты измерений и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематич. ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математич. статистики. Напр., в астрономии при измерении величины угла между направлением на светило и плоскостью горизонта систематич. ошибка является суммой двух ошибок: систематич. ошибки, которую даёт прибор при отсчёте данного угла (инструментальная ошибка) и систематич. ошибки, обусловленной преломлением лучей света в атмосфере (рефракция). Инструментальная ошибка учитывается с помощью таблицы или графика поправок для данного прибора; ошибку, связанную с рефракцией (для углов, меньших 80°), можно достаточно точно вычислить теоретически. Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, как правило, сильно отличаются от др. результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от разл. случайных причин, действующих при каждом из отд. измерений непредсказуемым образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результата.
О. т. занимается изучением лишь случайных и грубых ошибок. Осн. задачи О. т.: определение законов распределения случайных ошибок, построение статистич. оценок неизвестных величин по результатам измерений, вычисление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.
Пусть в результате $n$ независимых измерений некоторой неизвестной величины $\mu$ получены значения $X_1,X_2,\dots,X_n$. Разности $$\delta_1=X_1-\mu,\quad \delta_2=X_2-\mu, \quad\dots, \quad \delta_n=X_n-\mu$$называются истинными ошибками; в терминах вероятностной О. т. все $\delta_i$ рассматриваются как случайные величины, независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин $\delta_1, \dots, \delta_n$. При этом измерения называются равноточными (в широком смысле), если эти величины имеют одно и то же распределение. Таким образом, истинные ошибки равноточных измерений суть независимые одинаково распределённые случайные величины. При этом математич. ожидание истинных ошибок $b=\text{E}\delta_1=\ldots =\text{E}\delta_n$ называется систематич. ошибкой, а разности $\delta_1-b,\dots,\delta_n-b$ – случайными ошибками. Отсутствие систематич. ошибки означает, что $b=0$, в этом случае $\delta_1,\dots,\delta_n$ суть случайные ошибки. Величину $1/(\sqrt{2}\sigma)$, где $\sigma$ – квадратичное отклонение ошибок $\delta_1,\dots,\delta_n$, называют мерой точности (при наличии систематич. ошибки мера точности есть $1/\sqrt{2(b^2+\sigma^2)}$. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отд. измерений.
В качестве оценки неизвестной величины $\mu$ обычно берут арифметич. среднее из результатов измерений $X_1,\dots,X_n$: $$\overline X=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i,$$а разности $\Delta_1=X_1- \overline X, \dots, \Delta_n - \overline X$ называются кажущимися ошибками. Выбор $\overline X$ в качестве оценки для $\mu$ основан на том, что при достаточно большом числе $n$ равноточных измерений, лишённых систематич. ошибки, оценка $\overline X$ с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины $\mu$ (это связано с больших чисел законом); оценка $\overline X$ лишена систематич. ошибки (оценки с таким свойством называются несмещёнными оценками); дисперсия этой оценки есть $$\text D\overline X=\text E(\overline X-\mu)^2=\sigma^2/n.$$Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки имеют распределения, близкие к нормальным (это объясняется центральной предельной теоремой). В этом случае распределение величины $\overline X$ мало отличается от нормального распределения с математич. ожиданием $\mu$ и дисперсией $\sigma^2/n$. Если распределение величин $\delta_1,\dots,\delta_n$ в точности нормально, то дисперсия всякой др. несмещённой оценки для $\mu$, напр. медианы, не меньше $\text D\overline X$. Если же распределение величин $\delta_1,\dots,\delta_n$ отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.
Если дисперсия $\sigma^2$ отд. измерений заранее неизвестна, то для её оценки пользуются величиной $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}\Delta^2_i;$$ $s^2$ – несмещённая оценка для $\sigma^2$, т. к. $\text E s^2=\sigma^2$.
Если случайные ошибки $\delta_1,\dots,\delta_n$ имеют нормальное распределение, то отношение $$t=\frac{(\overline X -\mu)\sqrt{n}}{s}$$имеет Стьюдента распределение с $n-1$ степенью свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства $\mu \approx \overline X$ (см. Наименьших квадратов метод). Величина $$\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$$при тех же предположениях имеет хи-квадрат распределение с $n-1$ степенью свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства $\sigma \approx s$. Относительная погрешность $|s-\sigma|/s$ не превосходит числа $q$ с вероятностью $$\omega=F(z^2,n-1)-F(z_1,n-1),$$где $F(z, n-1)$ – функция распределения хи-квадрат, а $$z_1=\frac{\sqrt{n-1}}{1+q}, z_2=\frac{\sqrt{n-1}}{1-q}.$$