ОШИ́БОК ТЕО́РИЯ

ОШИ́БОК ТЕО́РИЯ, раз­дел ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки, по­свя­щён­ный по­строе­нию вы­во­дов о чис­лен­ных зна­че­ни­ях при­бли­жён­но из­ме­рен­ных ве­ли­чин и об ошиб­ках (по­греш­но­стях) из­ме­ре­ний. По­втор­ные из­ме­ре­ния од­ной и той же по­сто­ян­ной ве­ли­чи­ны да­ют, как пра­ви­ло, разл. ре­зуль­та­ты, т. к. ка­ж­дое из­ме­ре­ние со­дер­жит не­ко­то­рую ошиб­ку. Раз­ли­ча­ют три осн. ви­да оши­бок: сис­те­ма­тич., гру­бые и слу­чай­ные. Сис­те­ма­тич. ошиб­ки по­сто­ян­но ли­бо пре­уве­ли­чи­ва­ют, ли­бо пре­умень­ша­ют ре­зуль­та­ты из­ме­ре­ний и про­ис­хо­дят от оп­ре­де­лён­ных при­чин (не­пра­виль­ной ус­та­нов­ки из­ме­рит. при­бо­ров, влия­ния ок­ру­жаю­щей сре­ды и т. д.), сис­те­ма­ти­че­ски влияю­щих на ре­зуль­та­ты из­ме­ре­ний и из­ме­няю­щих их в од­ном на­прав­ле­нии. Оцен­ка сис­те­ма­тич. оши­бок про­из­во­дит­ся с по­мо­щью ме­то­дов, вы­хо­дя­щих за пре­де­лы ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки. Напр., в ас­тро­но­мии при из­ме­ре­нии ве­ли­чи­ны уг­ла ме­ж­ду на­прав­ле­ни­ем на све­ти­ло и плос­ко­стью го­ри­зон­та сис­те­ма­тич. ошиб­ка яв­ля­ет­ся сум­мой двух оши­бок: сис­те­ма­тич. ошиб­ки, ко­то­рую да­ёт при­бор при от­счё­те дан­но­го уг­ла (ин­ст­ру­мен­таль­ная ошиб­ка) и сис­те­ма­тич. ошиб­ки, обу­слов­лен­ной пре­лом­ле­ни­ем лу­чей све­та в ат­мо­сфе­ре (реф­рак­ция). Ин­ст­ру­мен­таль­ная ошиб­ка учи­ты­ва­ет­ся с по­мо­щью таб­ли­цы или гра­фи­ка по­пра­вок для дан­но­го при­бо­ра; ошиб­ку, свя­зан­ную с реф­рак­ци­ей (для уг­лов, мень­ших 80°), мож­но дос­та­точ­но точ­но вы­чис­лить тео­ре­ти­че­ски. Гру­бые ошиб­ки воз­ни­ка­ют в ре­зуль­та­те про­счё­та, не­пра­виль­но­го чте­ния по­ка­за­ний из­ме­ри­тель­но­го при­бо­ра и т. п. Ре­зуль­та­ты из­ме­ре­ний, со­дер­жа­щие гру­бые ошиб­ки, как пра­ви­ло, силь­но от­ли­ча­ют­ся от др. ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний и по­это­му час­то бы­ва­ют хо­ро­шо за­мет­ны. Слу­чай­ные ошиб­ки про­ис­хо­дят от разл. слу­чай­ных при­чин, дей­ст­вую­щих при ка­ж­дом из отд. из­ме­ре­ний не­пред­ска­зуе­мым об­ра­зом то в сто­ро­ну умень­ше­ния, то в сто­ро­ну уве­ли­че­ния ре­зуль­та­та.

О. т. за­ни­ма­ет­ся изу­че­ни­ем лишь слу­чай­ных и гру­бых оши­бок. Осн. за­да­чи О. т.: оп­ре­де­ле­ние за­ко­нов рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных оши­бок, по­строе­ние ста­ти­стич. оце­нок не­из­вест­ных ве­ли­чин по ре­зуль­та­там из­ме­ре­ний, вы­чис­ле­ние по­греш­но­стей та­ких оце­нок и уст­ра­не­ние гру­бых оши­бок.

Пусть в ре­зуль­та­те $n$ не­за­ви­си­мых из­ме­ре­ний не­ко­то­рой не­из­вест­ной ве­ли­чи­ны $\mu$ по­лу­че­ны зна­че­ния $X_1,X_2,\dots,X_n$. Раз­но­сти  $$\delta_1=X_1-\mu,\quad \delta_2=X_2-\mu, \quad\dots, \quad \delta_n=X_n-\mu$$ называются истинными ошибками; в терминах вероятностной О. т. все $\delta_i$ рассматриваются как случайные величины, независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин $\delta_1, \dots, \delta_n$. При этом из­ме­ре­ния на­зы­ва­ют­ся рав­но­точ­ны­ми (в ши­ро­ком смыс­ле), ес­ли эти ве­ли­чи­ны име­ют од­но и то же рас­пре­де­ле­ние. Та­ким об­ра­зом, ис­тин­ные ошиб­ки рав­но­точ­ных из­ме­ре­ний суть не­за­ви­си­мые оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ные слу­чай­ные ве­ли­чи­ны. При этом ма­те­ма­тич. ожи­да­ние ис­тин­ных оши­бок $b=\text{E}\delta_1=\ldots =\text{E}\delta_n$ на­зы­ва­ет­ся сис­те­ма­тич. ошиб­кой, а раз­но­сти $\delta_1-b,\dots,\delta_n-b$ – слу­чай­ны­ми ошиб­ка­ми. От­сут­ст­вие сис­те­ма­тич. ошиб­ки оз­на­ча­ет, что $b=0$, в этом слу­чае $\delta_1,\dots,\delta_n$ суть слу­чай­ные ошиб­ки. Ве­ли­чи­ну $1/(\sqrt{2}\sigma)$, где $\sigma$  – квад­ра­тич­ное от­кло­не­ние оши­бок $\delta_1,\dots,\delta_n$, на­зы­ва­ют ме­рой точ­но­сти (при на­ли­чии сис­те­ма­тич. ошиб­ки ме­ра точ­но­сти есть $1/\sqrt{2(b^2+\sigma^2)}$. Рав­но­точ­ность из­ме­ре­ний в уз­ком смыс­ле по­ни­ма­ет­ся как оди­на­ко­вость ме­ры точ­но­сти всех ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний. На­ли­чие гру­бых оши­бок оз­на­ча­ет на­ру­ше­ние рав­но­точ­но­сти (как в ши­ро­ком, так и в уз­ком смыс­ле) для не­ко­то­рых отд. из­ме­ре­ний. 

В ка­че­ст­ве оцен­ки не­из­вест­ной ве­ли­чи­ны $\mu$ обыч­но бе­рут ариф­ме­тич. сред­нее из ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний $X_1,\dots,X_n$: $$\overline X=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i,$$ а раз­но­сти $\Delta_1=X_1- \overline X, \dots, \Delta_n - \overline X$ на­зы­ва­ют­ся ка­жу­щи­ми­ся ошиб­ка­ми. Вы­бор $\overline X$ в ка­че­ст­ве оцен­ки для $\mu$ ос­но­ван на том, что при дос­та­точ­но боль­шом чис­ле $n$ рав­но­точ­ных из­ме­ре­ний, ли­шён­ных сис­те­ма­тич. ошиб­ки, оцен­ка $\overline X$ с ве­ро­ят­но­стью, сколь угод­но близ­кой к еди­ни­це, сколь угод­но ма­ло от­ли­ча­ет­ся от не­из­вест­ной ве­ли­чи­ны $\mu$ (это свя­за­но с боль­ших чи­сел за­ко­ном

); оцен­ка $\overline X$ ли­ше­на сис­те­ма­тич. ошиб­ки (оцен­ки с та­ким свой­ст­вом на­зы­ва­ют­ся не­сме­щён­ны­ми оцен­ка­ми); дис­пер­сия этой оцен­ки есть $$\text D\overline X=\text E(\overline X-\mu)^2=\sigma^2/n.$$ Опыт по­ка­зы­ва­ет, что прак­ти­че­ски очень час­то слу­чай­ные ошиб­ки име­ют рас­пре­де­ле­ния, близ­кие к нор­маль­ным (это объ­яс­ня­ет­ся цен­траль­ной пре­дель­ной тео­ре­мой

 >>

). В этом слу­чае рас­пре­де­ле­ние ве­ли­чи­ны $\overline X$ ма­ло от­ли­ча­ет­ся от нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния с ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем $\mu$ и дис­пер­си­ей $\sigma^2/n$. Ес­ли рас­пре­де­ле­ние ве­ли­чин $\delta_1,\dots,\delta_n$ в точ­но­сти нор­маль­но, то дис­пер­сия вся­кой др. не­сме­щён­ной оцен­ки для $\mu$, напр. ме­диа­ны, не мень­ше $\text D\overline X$. Ес­ли же рас­пре­де­ле­ние ве­ли­чин $\delta_1,\dots,\delta_n$ от­лич­но от нор­маль­но­го, то по­след­нее свой­ст­во мо­жет не иметь мес­та. 

Ес­ли дис­пер­сия $\sigma^2$ отд. из­ме­ре­ний за­ра­нее не­из­вест­на, то для её оцен­ки поль­зу­ют­ся ве­ли­чи­ной $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}\Delta^2_i;$$  $s^2$ – не­сме­щён­ная оцен­ка для $\sigma^2$, т. к. $\text E s^2=\sigma^2$.

Ес­ли слу­чай­ные ошиб­ки $\delta_1,\dots,\delta_n$ име­ют нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние, то от­но­ше­ние $$t=\frac{(\overline X -\mu)\sqrt{n}}{s}$$ име­ет Стью­ден­та рас­пре­де­ле­ние

 с $n-1$ сте­пе­нью сво­бо­ды. Этим мож­но вос­поль­зо­вать­ся для оцен­ки по­греш­но­сти при­бли­жён­но­го ра­вен­ст­ва $\mu \approx \overline X$ (см. Наи­мень­ших квад­ра­тов ме­тод

 >>

). Ве­ли­чи­на $$\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$$ при тех же пред­по­ло­же­ни­ях име­ет хи-квад­рат рас­пре­де­ле­ние

 >>

 с $n-1$ сте­пе­нью сво­бо­ды. Это по­зво­ля­ет оце­нить по­греш­ность при­бли­жён­но­го ра­вен­ст­ва $\sigma \approx s$. От­но­си­тель­ная по­греш­ность $|s-\sigma|/s$ не пре­вос­хо­дит чис­ла $q$ с ве­ро­ят­но­стью  $$\omega=F(z^2,n-1)-F(z_1,n-1),$$ где $F(z, n-1)$ – функ­ция рас­пре­де­ле­ния хи-квад­рат, а  $$z_1=\frac{\sqrt{n-1}}{1+q}, z_2=\frac{\sqrt{n-1}}{1-q}.$$