ГОМОЛОГИ́ЧЕСКАЯ А́ЛГЕБРА

ГОМОЛОГИ́ЧЕСКАЯ А́ЛГЕБРА, раз­дел ал­геб­ры, осн. объ­ек­том изу­че­ния ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся про­из­вод­ные функ­то­ры на разл. ка­те­го­ри­ях ал­геб­ра­ич. объ­ек­тов (см. Ка­те­го­рий тео­рия

). В раз­ных раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки час­то воз­ни­ка­ют по­сле­до­ва­тель­но­сти го­мо­мор­физ­мов

 >>

абе­ле­вых групп (или, бо­лее об­що, мо­ду­лей

 >>

над коль­цом) $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} C:\ldots C_{n+1} @>{d_{n+1}}>> C_n @>{d_n}>>C_{n-1} @>>> \ldots, \end{CD}$$ в ко­то­рых по­сле­до­ва­тель­ное вы­пол­не­ние двух го­мо­мор­физ­мов да­ёт ну­ле­вой го­мо­мор­физм, т. е. для вся­ко­го $n$ об­раз $\text{im}\,d_{n+1}$ со­дер­жит­ся в яд­ре $\text{ker}\,d_n$. Та­кие по­сле­до­ва­тель­но­сти на­зы­ва­ют­ся ком­плек­са­ми.

При­ме­ра­ми по­сле­до­ва­тель­но­стей $C$ яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти, в ко­то­рых группы $C_n$ по­рож­да­ют­ся про­стей­ши­ми гео­мет­рич. объ­ек­та­ми (сим­плек­са­ми, клет­ка­ми кле­точ­но­го ком­плек­са, син­гу­ляр­ны­ми сим­плек­са­ми то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва), а го­мо­мор­физ­мы $d_n$ за­да­ют­ся пе­ре­хо­дом к гра­ни­цам со­от­вет­ст­вую­щих объ­ек­тов (см. То­по­ло­гия

), а так­же по­сле­до­ва­тель­но­сти $C$, где $C_n$ – про­стран­ст­ва диф­фе­рен­ци­аль­ных форм сте­пе­ни $n$, а ото­бра­же­ния $d_n$ за­да­ют­ся диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем ко­эф­фи­ци­ен­тов форм.

Го­мо­мор­физ­мы $d_n$ на­зы­ва­ют гра­нич­ны­ми ото­бра­же­ния­ми, а так­же диф­фе­рен­циа­ла­ми. Фак­тор­груп­пы $H_n(C)=\text{ker}\,d_n/\text{im}\,d_{n+1}$ на­зы­ва­ют­ся груп­па­ми го­мо­ло­гий ком­плек­са $C$. Ес­ли все груп­пы го­мо­ло­гий ну­ле­вые, $H_n(C)=0$ (т. е. $\text{ker}\,d_n=\text{im}\,d_{n+1}$) для всех $n$, то по­сле­до­ва­тель­ность $C$ на­зы­ва­ет­ся точ­ной. Груп­пы го­мо­ло­гий ком­плек­са из­ме­ря­ют его от­кло­не­ние от точ­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти. Для ко­неч­но­го ком­плек­са (ко­гда $C_n$ от­лич­ны от ну­ля лишь для ко­неч­но­го чис­ла зна­че­ний $n$) при пе­ре­хо­де от групп $C_n$ к груп­пам го­мо­ло­гий $H_n(C)$ со­храня­ет­ся эй­ле­ро­ва ха­рак­те­ри­сти­ка $χ(C)=Σ(–1)^n\text{rank}\,C_n$, где $\text{rank}\,C_n$ – ранг груп­пы $C_n$. Про­стей­шим, но не­три­ви­аль­ным ча­ст­ным слу­ча­ем это­го об­щего фак­та яв­ля­ет­ся тео­ре­ма Эй­ле­ра, со­стоя­щая в том, что в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве чис­ло вер­шин вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка ми­нус чис­ло его рё­бер плюс чис­ло гра­ней рав­но двум.

По­ня­тие ком­плек­са воз­ник­ло в 1920-е гг. как обоб­ще­ние важ­ных ин­ва­ри­ан­тов то­по­ло­гич. мно­го­об­ра­зий – чи­сел Бет­ти и ко­эф­фи­ци­ен­тов кру­че­ния, вве­дён­ных в кон. 19 в. в ра­бо­тах итал. ма­те­ма­ти­ка Э. Бет­ти и А. Пу­ан­ка­ре

и яв­ляю­щих­ся од­ним из пер­вых ис­точ­ни­ков идей Г. а. Др. ис­точ­ни­ком ме­то­дов Г. а. яви­лась тео­рия рас­ши­ре­ний групп (раз­ви­тая в ра­бо­тах нем. ма­те­ма­ти­ка О. Шрай­е­ра в 1920-х гг.). Она при­ве­ла к по­строе­нию групп го­мо­ло­гий для групп, ас­со­циа­тив­ных ал­гебр, ал­гебр Ли и др. ал­геб­ра­ич. струк­тур (в наи­бо­лее об­щем ви­де – го­мо­ло­гий ал­гебр над опе­ра­да­ми). В ос­но­ве их по­строе­ния ле­жат спец. клас­сы комп­лек­сов мо­ду­лей. В ал­геб­ре од­ним из пер­вых по­доб­ные кон­ст­рук­ции стал сис­те­ма­ти­че­ски при­ме­нять Д. Гиль­берт

 >>

в кон. 19 в. Пусть $f_1,\ldots, f_m$ – мно­го­чле­ны от $n$ пе­ре­мен­ных. Иде­ал, по­ро­ж­дён­ный ими, не бу­дет сво­бод­ным мо­ду­лем, по­сколь­ку ме­ж­ду эти­ми мно­го­чле­на­ми су­ще­ст­ву­ют со­от­но­ше­ния (си­зи­гии, в тер­ми­но­ло­гии Гиль­бер­та), т. е. су­ще­ст­ву­ют век­то­ры $(a_1, …, a_m)$, ком­по­нен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся мно­го­чле­ны, та­кие, что $f_1a_1+\ldots+f_ma_m=0$. Мно­же­ст­во $Ω^1$ та­ких со­от­но­ше­ний так­же яв­ля­ет­ся мо­ду­лем над коль­цом мно­го­чле­нов и не обя­за­тель­но сво­бод­ным, т. к. ме­ж­ду его по­ро­ж­даю­щи­ми сно­ва име­ют­ся со­от­но­ше­ния, об­ра­зую­щие но­вый мо­дуль $Ω^2$ и т. д. Тео­ре­ма Гиль­бер­та ут­вер­жда­ет, что че­рез $n$ ша­гов этот про­цесс пре­кра­тит­ся, т. е. что $Ω^{n–1}$ – сво­бод­ный мо­дуль, и мож­но взять $Ω^n=0$. Ана­ло­гич­ное ут­вер­жде­ние вер­но, ес­ли счи­тать $f_1,\ldots, f_m$ эле­мен­та­ми лю­бо­го мо­ду­ля над коль­цом мно­го­чле­нов от $n$ пе­ре­мен­ных, толь­ко по­сле­до­ва­тель­ность обор­вёт­ся на $(n+1)$-м ша­ге. На язы­ке точ­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей эта тео­ре­ма оз­на­ча­ет, что у про­из­воль­но­го мо­ду­ля $M$ над коль­цом мно­го­чле­нов от $n$ пе­ре­мен­ных име­ет­ся ко­неч­ная сво­бод­ная ре­золь­вен­та т. е. точ­ная по­сле­до­ва­тель­ность сво­бод­ных мо­ду­лей $F_1, F_2,\ldots,$ в ко­то­рой мо­дуль $F_{n+1}$ мож­но вы­брать ну­ле­вым.

О мно­гих свой­ст­вах мо­ду­лей и ко­лец мож­но су­дить, зная толь­ко дли­ны со­от­вет­ст­вую­щих ре­золь­вент. Так, про­ек­тив­ная раз­мер­ность мо­ду­ля оп­ре­де­ля­ет­ся как дли­на его наи­мень­шей про­ек­тив­ной ре­золь­вен­ты. Гло­баль­ной раз­мер­но­стью коль­ца $R$ на­зы­ва­ет­ся точ­ная верх­няя грань про­ек­тив­ных раз­мер­но­стей $R$-мо­ду­лей. Гло­баль­ная раз­мер­ность рав­на ну­лю в точ­но­сти для клас­сич. по­лу­про­стых ко­лец. Ко­неч­ность гло­баль­ной раз­мер­но­сти ком­му­та­тив­но­го коль­ца в при­ме­не­нии к коль­цам функ­ций на ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зи­ях по­зво­ля­ет ха­ракте­ри­зо­вать те мно­го­об­ра­зия, все точ­ки ко­то­рых не­осо­бы.

Во мно­гих об­лас­тях совр. ма­те­ма­ти­ки ис­поль­зу­ет­ся на­гляд­ный язык Г. а., важ­ней­шим ин­ст­ру­мен­том ко­то­ро­го на­ря­ду с ком­плек­са­ми и точ­ны­ми по­сле­до­ва­тель­но­стя­ми слу­жат ком­му­та­тив­ные диа­грам­мы – ори­ен­ти­ро­ван­ные гра­фы, в ко­то­рых вер­ши­ны обо­зна­ча­ют рас­смат­ри­вае­мые объ­ек­ты, стрел­ки – их ото­бра­же­ния, при­чём ком­по­зи­ции ото­бра­же­ний, со­от­вет­ст­вую­щих двум пу­тям в гра­фе с об­щим на­ча­лом и кон­цом, сов­па­да­ют. Напр., диа­грам­ма $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} F'_{\bullet} @>f_{\bullet}>> F_{\bullet}\\ @V V V @VV V\\ M' @>f>> M \end{CD}$$ ил­лю­ст­ри­ру­ет тот факт, что лю­бое ото­бра­же­ние мо­ду­лей $f\!:M′\rightarrow M$ про­дол­жа­ет­ся до мор­физ­ма их сво­бод­ных ре­золь­вент $f_{\bullet}: F'_{\bullet}\rightarrow F_{\bullet}.$.

Пе­ре­ход от мо­ду­лей к ре­золь­вен­там яв­ля­ет­ся не­об­хо­ди­мым эта­пом об­щей опе­ра­ции пе­ре­хо­да от к.-л. ис­ход­но­го функ­то­ра к его про­из­вод­но­му функ­то­ру. Тео­рия про­из­вод­ных функ­то­ров бы­ла раз­ви­та в мо­но­гра­фии А. Кар­та­на

и франц. ма­те­ма­ти­ка С. Эй­лен­бер­га «Ho­mo­logical Algebra» (1956). Ча­ст­ны­ми слу­чая­ми в об­щей тео­рии про­из­вод­ных функ­то­ров яв­ля­ют­ся как упо­мя­ну­тые вы­ше груп­пы го­мо­ло­гий в то­по­ло­гии и в ал­геб­ре, так и мн. кон­ст­рук­ции, воз­ни­каю­щие в ком­плекс­ном ана­ли­зе, ал­геб­ра­ической гео­мет­рии, тео­рии пред­став­ле­ний. Тео­рия про­из­вод­ных функ­то­ров по­зво­ли­ла уни­фи­ци­ро­вать под­ход к этим кон­ст­рук­ци­ям и при­ве­ла к соз­да­нию современного ап­па­ра­та про­из­вод­ных ка­те­го­рий.

Г. а. име­ет мно­го­числ. при­ме­не­ния в та­ких об­лас­тях ма­те­ма­ти­ки, как ал­геб­ра­ич. тео­рия чи­сел, ал­геб­раи­че­ская и диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, то­по­ло­гия, тео­рия функ­ций мно­гих ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных, тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний в ча­ст­ных про­из­вод­ных, функ­цио­наль­ный ана­лиз, а так­же в тео­ре­тич. фи­зи­ке.