ГОМОЛОГИ́ЧЕСКАЯ А́ЛГЕБРА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГОМОЛОГИ́ЧЕСКАЯ А́ЛГЕБРА, раздел алгебры, осн. объектом изучения которого являются производные функторы на разл. категориях алгебраич. объектов (см. Категорий теория). В разных разделах математики часто возникают последовательности гомоморфизмов абелевых групп (или, более общо, модулей над кольцом) $\require{AMScd}$ \begin{CD} C:\ldots C_{n+1} @>{d_{n+1}}>> C_n @>{d_n}>>C_{n-1} @>>> \ldots, \end{CD}в которых последовательное выполнение двух гомоморфизмов даёт нулевой гомоморфизм, т. е. для всякого $n$ образ $\text{im}\,d_{n+1}$ содержится в ядре $\text{ker}\,d_n$. Такие последовательности называются комплексами.
Примерами последовательностей $C$ являются последовательности, в которых группы $C_n$ порождаются простейшими геометрич. объектами (симплексами, клетками клеточного комплекса, сингулярными симплексами топологич. пространства), а гомоморфизмы $d_n$ задаются переходом к границам соответствующих объектов (см. Топология), а также последовательности $C$, где $C_n$ – пространства дифференциальных форм степени $n$, а отображения $d_n$ задаются дифференцированием коэффициентов форм.
Гомоморфизмы $d_n$ называют граничными отображениями, а также дифференциалами. Факторгруппы $H_n(C)=\text{ker}\,d_n/\text{im}\,d_{n+1}$ называются группами гомологий комплекса $C$. Если все группы гомологий нулевые, $H_n(C)=0$ (т. е. $\text{ker}\,d_n=\text{im}\,d_{n+1}$) для всех $n$, то последовательность $C$ называется точной. Группы гомологий комплекса измеряют его отклонение от точной последовательности. Для конечного комплекса (когда $C_n$ отличны от нуля лишь для конечного числа значений $n$) при переходе от групп $C_n$ к группам гомологий $H_n(C)$ сохраняется эйлерова характеристика $χ(C)=Σ(–1)^n\text{rank}\,C_n$, где $\text{rank}\,C_n$ – ранг группы $C_n$. Простейшим, но нетривиальным частным случаем этого общего факта является теорема Эйлера, состоящая в том, что в трёхмерном пространстве число вершин выпуклого многогранника минус число его рёбер плюс число граней равно двум.
Понятие комплекса возникло в 1920-е гг. как обобщение важных инвариантов топологич. многообразий – чисел Бетти и коэффициентов кручения, введённых в кон. 19 в. в работах итал. математика Э. Бетти и А. Пуанкаре и являющихся одним из первых источников идей Г. а. Др. источником методов Г. а. явилась теория расширений групп (развитая в работах нем. математика О. Шрайера в 1920-х гг.). Она привела к построению групп гомологий для групп, ассоциативных алгебр, алгебр Ли и др. алгебраич. структур (в наиболее общем виде – гомологий алгебр над операдами). В основе их построения лежат спец. классы комплексов модулей. В алгебре одним из первых подобные конструкции стал систематически применять Д. Гильберт в кон. 19 в. Пусть $f_1,\ldots, f_m$ – многочлены от $n$ переменных. Идеал, порождённый ими, не будет свободным модулем, поскольку между этими многочленами существуют соотношения (сизигии, в терминологии Гильберта), т. е. существуют векторы $(a_1, …, a_m)$, компонентами которых являются многочлены, такие, что $f_1a_1+\ldots+f_ma_m=0$. Множество $Ω^1$ таких соотношений также является модулем над кольцом многочленов и не обязательно свободным, т. к. между его порождающими снова имеются соотношения, образующие новый модуль $Ω^2$ и т. д. Теорема Гильберта утверждает, что через $n$ шагов этот процесс прекратится, т. е. что $Ω^{n–1}$ – свободный модуль, и можно взять $Ω^n=0$. Аналогичное утверждение верно, если считать $f_1,\ldots, f_m$ элементами любого модуля над кольцом многочленов от $n$ переменных, только последовательность оборвётся на $(n+1)$-м шаге. На языке точных последовательностей эта теорема означает, что у произвольного модуля $M$ над кольцом многочленов от $n$ переменных имеется конечная свободная резольвента т. е. точная последовательность свободных модулей $F_1, F_2,\ldots,$ в которой модуль $F_{n+1}$ можно выбрать нулевым.
О многих свойствах модулей и колец можно судить, зная только длины соответствующих резольвент. Так, проективная размерность модуля определяется как длина его наименьшей проективной резольвенты. Глобальной размерностью кольца $R$ называется точная верхняя грань проективных размерностей $R$-модулей. Глобальная размерность равна нулю в точности для классич. полупростых колец. Конечность глобальной размерности коммутативного кольца в применении к кольцам функций на алгебраич. многообразиях позволяет характеризовать те многообразия, все точки которых неособы.
Во многих областях совр. математики используется наглядный язык Г. а., важнейшим инструментом которого наряду с комплексами и точными последовательностями служат коммутативные диаграммы – ориентированные графы, в которых вершины обозначают рассматриваемые объекты, стрелки – их отображения, причём композиции отображений, соответствующих двум путям в графе с общим началом и концом, совпадают. Напр., диаграмма $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} F'_{\bullet} @>f_{\bullet}>> F_{\bullet}\\ @V V V @VV V\\ M' @>f>> M \end{CD}$$ иллюстрирует тот факт, что любое отображение модулей $f\!:M′\rightarrow M$ продолжается до морфизма их свободных резольвент $f_{\bullet}: F'_{\bullet}\rightarrow F_{\bullet}.$.
Переход от модулей к резольвентам является необходимым этапом общей операции перехода от к.-л. исходного функтора к его производному функтору. Теория производных функторов была развита в монографии А. Картана и франц. математика С. Эйленберга «Homological Algebra» (1956). Частными случаями в общей теории производных функторов являются как упомянутые выше группы гомологий в топологии и в алгебре, так и мн. конструкции, возникающие в комплексном анализе, алгебраической геометрии, теории представлений. Теория производных функторов позволила унифицировать подход к этим конструкциям и привела к созданию современного аппарата производных категорий.
Г. а. имеет многочисл. применения в таких областях математики, как алгебраич. теория чисел, алгебраическая и дифференциальная геометрия, топология, теория функций многих комплексных переменных, теория дифференциальных уравнений в частных производных, функциональный анализ, а также в теоретич. физике.