ГОМОМОРФИ́ЗМ

ГОМОМОРФИ́ЗМ (от го­мо... и греч. μορφή – вид, фор­ма) (го­мо­морф­ное ото­бра­же­ние), ма­те­ма­тич. по­ня­тие, обоб­щаю­щее по­ня­тие изо­мор­физ­ма. Воз­ник­ло пер­во­на­чаль­но в ал­геб­ре (Г. групп). Об­щее оп­ре­де­ле­ние Г. да­но Э. Нё­те­ром (1929). По­ня­тие Г. от­но­сит­ся к па­ре алгеб­ра­ич. сис­тем – па­ре объ­ек­тов с за­дан­ны­ми на них опе­ра­ция­ми и/или от­но­ше­ния­ми и оп­ре­де­ля­ет­ся для них как ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва эле­мен­тов од­ной сис­те­мы в дру­гую, со­хра­няю­щее все опе­ра­ции и от­но­ше­ния. Напр., Г. груп­пы $G$ в груп­пу $H$ есть та­кое ото­бра­же­ние $φ$, при ко­то­ром ка­ж­до­му эле­мен­ту $g \in G$ по­став­лен в со­от­вет­ст­вие оп­ре­де­лён­ный эле­мент $h=φ(g) \in H$ (об­раз $g$), при­чём про­из­ве­де­нию двух эле­мен­тов $g_1$ и $g_2$ из $G$ со­от­вет­ст­ву­ет про­из­ве­де­ние их об­ра­зов, т. е. $φ(g_1g_2)=φ(g_1)φ(g_2)$. Ес­ли, как и в слу­чае групп, ал­геб­ра­ич. сис­те­ма име­ет ну­ле­вую под­сис­те­му (в груп­пе это еди­ни­ца), то мно­же­ст­во эле­мен­тов пер­вой сис­те­мы, ото­бра­жаю­щих­ся при Г. $φ$ в ну­ле­вую под­сис­те­му вто­рой, на­зы­ва­ют ядром Г. С ка­ж­дым Г. $φ:G→H$ свя­за­на од­но­знач­но оп­ре­де­лён­ная кон­гру­эн­ция сис­те­мы $G$ (см. Кон­гру­эн­ций тео­рия). Обоб­ще­ни­ем по­ня­тия Г. слу­жит по­ня­тие мор­физ­ма в ка­те­го­рий тео­рии. В не­ко­то­рых раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки тер­мин «Г.» упот­реб­ля­ет­ся вме­сто тер­ми­на «мор­физм» и на­обо­рот.