ТОПОЛО́ГИЯ

ТОПОЛО́ГИЯ (от греч. τόπος – ме­сто и ...ло­гия), раз­дел ма­те­ма­ти­ки, свя­зан­ный с вы­яс­не­ни­ем и ис­сле­до­ва­ни­ем в рам­ках ма­те­ма­ти­ки идеи не­пре­рыв­но­сти.

Ин­туи­тив­но идея не­пре­рыв­но­сти вы­ра­жа­ет ко­рен­ное свой­ст­во про­стран­ст­ва и вре­ме­ни и по­это­му име­ет фун­дам. зна­че­ние для по­зна­ния. Со­от­вет­ст­вен­но, Т., в ко­то­рой по­ня­тие не­пре­рыв­но­сти по­лу­ча­ет ма­те­ма­тич. во­пло­ще­ние, ес­те­ст­вен­но впле­та­ет­ся поч­ти во все раз­де­лы ма­те­ма­ти­ки. В со­еди­не­нии с ал­геб­рой Т. со­став­ля­ет об­щую ос­но­ву совр. ма­те­ма­ти­ки и со­дей­ст­ву­ет её един­ст­ву.

Пред­ме­том Т. яв­ля­ет­ся ис­сле­до­ва­ние свойств фи­гур и их вза­им­но­го рас­по­ложе­ния, со­хра­няю­щих­ся при го­мео­мор­физ­мах, т. е. при вза­им­но од­но­знач­ных не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ни­ях од­но­го то­по­ло­ги­че­ско­го про­стран­ст­ва на дру­гое, при этом об­рат­ные ото­бра­же­ния то­же не­пре­рыв­ны. По­это­му Т. мож­но рас­смат­ри­вать как раз­но­вид­ность гео­мет­рии. Важ­ная чер­та этой гео­мет­рии – ис­клю­чи­тель­ная ши­ро­та клас­са гео­мет­рич. объ­ек­тов, по­па­даю­щих в сфе­ру дей­ст­вия её за­ко­нов. Вы­зва­на эта ши­ро­та тем, что центр. по­ня­тие Т. – го­мео­мор­физм не тре­бу­ет для сво­его оп­ре­де­ле­ния ни­ка­ких клас­сич. гео­мет­рич. по­ня­тий ти­па рас­стоя­ния, пря­мо­ли­ней­но­сти, глад­ко­сти и т. д. По­ня­тие го­мео­мор­физ­ма и ле­жа­щее в его ос­но­ве по­ня­тие не­пре­рыв­но­го ото­бра­же­ния пред­по­ла­га­ют толь­ко, что точ­ки и мно­же­ст­ва рас­смат­ри­вае­мой фи­гу­ры мо­гут на­хо­дить­ся в не­ко­то­ром ин­туи­тив­но яс­ном от­но­ше­нии бли­зо­сти, от­лич­ном, во­об­ще го­во­ря, от про­сто­го от­но­ше­ния при­над­леж­но­сти.

Под «фи­гу­рой» в Т. по­ни­ма­ет­ся лю­бое мно­же­ст­во то­чек, в ко­то­ром за­да­но от­но­ше­ние бли­зо­сти ме­ж­ду точ­ка­ми и не­ко­то­ры­ми под­мно­же­ст­ва­ми, удов­ле­тво­ряю­щее оп­ре­де­лён­ным ак­сио­мам. Та­кие фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва­ми. Прак­ти­че­ски вся­кая фи­гу­ра в смыс­ле к.-л. дру­гой гео­мет­рии (напр., про­ек­тив­ной, диф­фе­рен­ци­аль­ной) мо­жет рас­смат­ри­вать­ся и как то­по­ло­гич. про­стран­ст­во. В этом смыс­ле Т. яв­ля­ет­ся наи­бо­лее об­щей гео­мет­ри­ей, од­на­ко мн. свой­ст­ва фи­гур, ко­то­рые изу­ча­ют­ся в др. гео­мет­ри­ях, не от­но­сят­ся к пред­ме­ту то­по­ло­гии.

Гл. за­да­ча Т. – вы­де­ле­ние и изу­че­ние свойств про­странств, со­хра­няю­щих­ся при лю­бых го­мео­мор­физ­мах од­но­го то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва на дру­гое – то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­тов. К их чис­лу от­но­сит­ся, напр., раз­мер­ность. Кро­ме то­го, боль­шое вни­ма­ние в Т. уде­ля­ет­ся свой­ст­вам рас­по­ло­же­ния од­ной фи­гу­ры в дру­гой, од­но­го то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва в дру­гом, со­хра­няю­щим­ся при го­мео­мор­физ­мах объ­ем­лю­ще­го про­стран­ст­ва на се­бя.

К чис­лу наи­бо­лее важ­ных клас­сов то­по­ло­гич. про­странств, сфор­ми­ро­вав­ших­ся из тре­бо­ва­ний, предъ­яв­лен­ных к Т. ма­те­ма­ти­кой в це­лом, от­но­сят­ся, в ча­стно­сти, мно­го­об­ра­зия – ло­каль­но эти то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва уст­рое­ны как евк­ли­до­во про­стран­ст­во; по­ли­эд­ры – эти про­стран­ст­ва пра­виль­ным об­ра­зом «скро­е­ны» из эле­мен­тар­ных фи­гур, по­доб­ных от­рез­ку, тре­уголь­ни­ку, тет­ра­эдру и т. д.; про­стран­ст­ва функ­ций – то­по­ло­гич. объ­ек­ты это­го ро­да иг­ра­ют фун­дам. роль в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе и его при­ло­же­ни­ях.

Ис­сле­до­ва­ние всех на­зван­ных клас­сов про­странств объ­е­ди­не­но об­щей иде­ей го­мео­мор­физ­ма и по­ро­ж­дён­ным ею по­ня­ти­ем то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­та. Т. к. по­ня­тие го­мео­мор­физ­ма име­ет тео­ре­тико-мно­же­ст­вен­ную при­ро­ду, тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ные ме­то­ды и кон­ст­рук­ции то­го или ино­го уров­ня слож­но­сти или общ­но­сти при­ме­ня­ют­ся при ис­сле­до­ва­нии ка­ж­до­го из на­зван­ных и др. клас­сов то­по­ло­гич. про­странств. Ряд этих ме­то­дов име­ет об­щий ха­рак­тер и зна­че­ние для Т. в це­лом. В то же вре­мя ис­сле­до­ва­ние то­по­ло­гич. объ­ек­тов в пре­де­лах к.-л. фик­си­ро­ван­но­го клас­са про­странств тре­бу­ет осо­бых, спе­ци­фич. ме­то­дов, об­ла­даю­щих бо­лее уз­ким, но и бо­лее глу­бо­ким дей­ст­ви­ем. Эти ме­то­ды при­да­ют об­лас­тям Т., по­па­даю­щим в сфе­ру их дей­ст­вия, столь яр­кую и разл. ок­ра­ску, что ино­гда го­во­рят о рас­па­де­нии Т. на ряд са­мо­сто­ят. дис­ци­п­лин. Од­на­ко Т. объ­еди­не­на из­на­чаль­но свои­ми ис­ход­ны­ми кон­цеп­ция­ми, и её един­ст­во под­твер­жде­но в про­цес­се её раз­ви­тия.

От­дель­ные ре­зуль­та­ты то­по­ло­гич ха­рак­те­ра бы­ли по­лу­че­ны в 18 в. Л. Эй­ле­ром и в 19 в. М. Э. К. Жор­да­ном. В 20 в. тру­да­ми М. Фре­ше и Ф. Ха­ус­дор­фа со­зда­ёт­ся об­щее по­ня­тие то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва. Даль­ней­шее раз­ви­тие Т. связа­но с име­на­ми А. Пу­ан­ка­ре и А. Ле­бега. Пер­вая четв. 20 в. за­вер­ша­ет­ся рас­цве­том об­щей то­по­ло­гии. За­тем по­яви­лась мо­с­ков­ская то­по­ло­гич. шко­ла во гла­ве с П. С. Алек­сан­д­ро­вым, ко­то­рая за­ня­ла ве­ду­щую по­зи­цию в ми­ре.

Тер­мин «Т.» ис­поль­зу­ет­ся так­же в зна­че­нии «то­по­ло­гия то­по­ло­ги­че­ско­го про­стран­ст­ва».