Тополо́гия (от греч. τόπος – место и ...логия), раздел математики, связанный с выяснением и исследованием в рамках математики идеи непрерывности. Интуитивно идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени и поэтому имеет фундаментальное значение для познания. Соответственно, топология, в которой понятие непрерывности получает математическое воплощение, естественно вплетается почти во все разделы математики. В соединении с алгеброй топология составляет общую основу современной математики и содействует её единству.

Предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся при гомеоморфизмах, т. е. при взаимно однозначных непрерывных отображениях одного топологического пространства на другое, при этом обратные отображения тоже непрерывны. Поэтому топологию можно рассматривать как разновидность геометрии. Важная черта этой геометрии – исключительная широта класса геометрических объектов, попадающих в сферу действия её законов. Вызвана эта широта тем, что центральное понятие топологии – гомеоморфизм – не требует для своего определения никаких классических геометрических понятий типа расстояния, прямолинейности, гладкости и т. д. Понятие гомеоморфизма и лежащее в его основе понятие непрерывного отображения предполагают только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном, вообще говоря, от простого отношения принадлежности.

Под «фигурой» в топологии понимается любое множество точек, в котором задано отношение близости между точками и некоторыми подмножествами, удовлетворяющее определённым аксиомам. Такие фигуры называются топологическими пространствами. Практически всякая фигура в смысле какой-либо другой геометрии (например, проективной, дифференциальной) может рассматриваться и как топологическое пространство. В этом смысле топология является наиболее общей геометрией, однако многие свойства фигур, которые изучаются в других геометриях, не относятся к предмету топологии.

Главная задача топологии – выделение и изучение свойств пространств, сохраняющихся при любых гомеоморфизмах одного топологического пространства на другое – топологических инвариантов. К их числу относится, например, размерность. Кроме того, большое внимание в топологии уделяется свойствам расположения одной фигуры в другой, одного топологического пространства в другом, сохраняющимся при гомеоморфизмах объемлющего пространства на себя.

К числу наиболее важных классов топологических пространств, сформировавшихся из требований, предъявленных к топологии математикой в целом, относятся, в частности, многообразия – локально эти топологические пространства устроены как евклидово пространство; полиэдры – эти пространства правильным образом «скроены» из элементарных фигур, подобных отрезку, треугольнику, тетраэдру и т. д.; пространства функций – топологические объекты этого рода играют фундаментальную роль в функциональном анализе и его приложениях.

Исследование всех названных классов пространств объединено общей идеей гомеоморфизма и порождённым ею понятием топологического инварианта. Так как понятие гомеоморфизма имеет теоретико-множественную природу, теоретико-множественные методы и конструкции того или иного уровня сложности или общности применяются при исследовании каждого из названных и других классов топологических пространств. Ряд этих методов имеет общий характер и значение для топологии в целом. В то же время исследование топологических объектов в пределах какого-либо фиксированного класса пространств требует особых, специфических методов, обладающих более узким, но и более глубоким действием. Эти методы придают областям топологии, попадающим в сферу их действия, столь яркую и различную окраску, что иногда говорят о распадении топологии на ряд самостоятельных дисциплин. Однако топология объединена изначально своими исходными концепциями, и её единство подтверждено в процессе её развития.

Отдельные результаты топологического характера были получены в 18 в. Л. Эйлером и в 19 в. М. Э. К. Жорданом. В 20 в. трудами М.-Р. Фреше и Ф. Хаусдорфа создаётся общее понятие топологического пространства. Дальнейшее развитие топологии связано с именами А. Пуанкаре и А.-Л. Лебега. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей топологии. Затем появилась московская топологическая школа во главе с П. С. Александровым, которая заняла ведущую позицию в мире.

Термин «топология» используется также в значении «топология топологического пространства».