КАТЕГО́РИЙ ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КАТЕГО́РИЙ ТЕО́РИЯ, раздел математики, изучающий такие свойства математич. объектов, которые зависят от их отношений друг к другу. К. т. занимает важное место в совр. математике, она также находит применение в информатике и теоретич. физике.
Категория – понятие, выделяющее ряд алгебраич. свойств совокупностей морфизмов (отображений) однотипных математич. объектов (множеств, топологич. пространств, групп и т. п.) друг в друга при условии, что эти совокупности содержат тождественные отображения и замкнуты относительно последовательного выполнения (композиции или умножения) отображений. Категория $\mathscr{A}$ состоит из класса Ob$\mathscr{A}$, элементы которого называются объектами категории, и класса Mor$\mathscr{A}$, элементы которого называются морфизмами категории и обозначаются обычно $\mbox{Mor}_\mathscr{A}(A,B),A,B \in$ Ob$\mathscr{A}$. Входящее в определение категории понятие класса предполагает использование такой аксиоматики теории множеств, в которой различаются понятия множества и класса. Наиболее употребительной является аксиоматика Неймана – Бернсайда – Гёделя.
Основным в К. т. является понятие функтора – отображения из категории $\mathscr{A}$ в категорию $\mathscr{B}$, сопоставляющее объектам и морфизмам в $\mathscr{A}$ объекты и морфизмы в $\mathscr{B}$. Каждой категории $\mathscr{A}$ может быть сопоставлена двойственная, или дуальная, категория $\mathscr{A^*}$, для которой Ob$\mathscr{A^*}$= Ob$\mathscr{A}$ и $\mbox{Mor}_\mathscr{A^*}(A,B)= \mbox{Mor}_\mathscr{A}(B,A)$ для любых $A,B \in$ Ob$\mathscr{A}$. Для каждого предложения К. т. существует двойственное (дуальное) предложение, при этом справедлив т. н. принцип двойственности: предложение $p$ истинно в К. т. тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное предложение $p^*$.
Примеры категорий. 1) Категория множеств Ens: класс ObEns состоит из всевозможных множеств, класс MorEns – из всевозможных отображений множеств друг в друга, а композиция совпадает с последовательным выполнением отображений. 2) Категория групп Gr: класс ObGr состоит из всевозможных групп, класс MorGr – из всех гомоморфизмов групп, а композиция совпадает с последовательным выполнением гомоморфизмов. 3) Полугруппа с единицей является категорией с одним объектом, и наоборот, каждая категория, состоящая из одного объекта, есть полугруппа с единицей.
Все перечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, обладающие этим свойством, называются конкретными категориями. Число примеров категорий можно значительно увеличить при помощи разл. конструкций, и прежде всего при помощи категорий функторов или категорий диаграмм (отображение некоторого ориентированного графа в категорию).
Понятие категории было введено амер. учёными С. Эйленбергом и С. Маклейном (1945). Своим происхождением и первоначальными стимулами развития К. т. обязана алгебраич. топологии. Последующие исследования выявили объединяющую и унифицирующую роль понятия категории и связанного с ним понятия функтора для мн. разделов математики. Теоретико-категорный анализ основ теории гомологий привёл к выделению в сер. 1950-х гг. т. н. абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить осн. построения гомологической алгебры. В 1960-е гг. определился возрастающий интерес к неабелевым категориям, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраич. геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебры и аксиоматич. построения теории гомотопий положили начало разл. направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальных алгебр, теории изоморфизмов прямых разложений, теории сопряжённых функторов и теории двойственности функторов. В дальнейшем обнаружились существенные взаимосвязи между этими исследованиями. Напр., была установлена двойственность между теорией гомотопий и теорией универсальных алгебр. В алгебраич. геометрии существенно используются т. н. произвольные категории.