КАТЕГО́РИЙ ТЕО́РИЯ

КАТЕГО́РИЙ ТЕО́РИЯ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, изу­чаю­щий та­кие свой­ст­ва ма­те­ма­тич. объ­ек­тов, ко­то­рые за­ви­сят от их от­но­ше­ний друг к дру­гу. К. т. за­ни­ма­ет важ­ное ме­сто в совр. ма­те­ма­ти­ке, она так­же на­хо­дит при­ме­не­ние в ин­фор­ма­ти­ке и тео­ре­тич. фи­зи­ке.

Ка­те­го­рия – по­ня­тие, вы­де­ляю­щее ряд ал­геб­ра­ич. свойств со­во­куп­но­стей мор­физ­мов (ото­бра­же­ний) од­но­тип­ных ма­те­ма­тич. объ­ек­тов (мно­жеств, то­по­ло­гич. про­странств, групп и т. п.) друг в дру­га при ус­ло­вии, что эти со­во­куп­но­сти со­дер­жат то­ж­де­ст­вен­ные ото­бра­же­ния и замк­ну­ты от­но­си­тель­но по­сле­до­ва­тель­но­го вы­пол­не­ния (ком­по­зи­ции или ум­но­же­ния) ото­бра­же­ний. Ка­те­го­рия $\mathscr{A}$ со­сто­ит из клас­са Ob$\mathscr{A}$, эле­мен­ты ко­то­ро­го на­зы­вают­ся объ­ек­та­ми ка­те­го­рии, и клас­са Mor$\mathscr{A}$, эле­мен­ты ко­то­ро­го на­зы­ва­ют­ся мор­физ­ма­ми ка­те­го­рии и обо­зна­ча­ют­ся обыч­но $\mbox{Mor}_\mathscr{A}(A,B),A,B \in$ Ob$\mathscr{A}$. Вхо­дя­щее в оп­ре­де­ле­ние ка­те­го­рии по­ня­тие клас­са пред­по­ла­га­ет ис­поль­зо­ва­ние та­кой ак­сио­ма­ти­ки тео­рии мно­жеств, в ко­то­рой раз­ли­ча­ют­ся по­ня­тия мно­же­ст­ва и клас­са. Наи­бо­лее упот­ре­би­тель­ной яв­ля­ет­ся ак­сио­ма­ти­ка Ней­ма­на – Берн­сай­да – Гё­де­ля.

Ос­нов­ным в К. т. яв­ля­ет­ся по­ня­тие функ­то­ра – ото­бра­же­ния из ка­те­го­рии $\mathscr{A}$ в ка­те­го­рию $\mathscr{B}$, со­пос­тав­ляю­щее объ­ек­там и мор­физ­мам в $\mathscr{A}$ объ­ек­ты и мор­физ­мы в $\mathscr{B}$. Ка­ж­дой ка­те­го­рии $\mathscr{A}$ мо­жет быть со­пос­тав­ле­на двой­ст­вен­ная, или ду­аль­ная, ка­те­го­рия $\mathscr{A^*}$, для ко­то­рой Ob$\mathscr{A^*}$= Ob$\mathscr{A}$ и $\mbox{Mor}_\mathscr{A^*}(A,B)= \mbox{Mor}_\mathscr{A}(B,A)$ для лю­бых $A,B \in$ Ob$\mathscr{A}$. Для ка­ж­до­го пред­ло­же­ния К. т. су­ще­ст­ву­ет двой­ст­вен­ное (ду­аль­ное) пред­ло­же­ние, при этом спра­вед­лив т. н. прин­цип двой­ст­вен­но­сти: пред­ло­же­ние $p$ ис­тин­но в К. т. то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда в этой тео­рии ис­тин­но двой­ст­вен­ное пред­ло­же­ние $p^*$.

При­ме­ры ка­те­го­рий. 1) Ка­те­го­рия мно­жеств Ens: класс ObEns со­сто­ит из все­воз­мож­ных мно­жеств, класс MorEns – из все­воз­мож­ных ото­бра­же­ний мно­жеств друг в дру­га, а ком­по­зи­ция сов­па­да­ет с по­сле­до­ва­тель­ным вы­пол­не­ни­ем ото­бра­же­ний. 2) Ка­те­го­рия групп Gr: класс ObGr со­сто­ит из все­воз­мож­ных групп, класс MorGr – из всех го­мо­мор­физ­мов

групп, а ком­по­зи­ция сов­па­да­ет с по­сле­до­ва­тель­ным вы­пол­не­ни­ем го­мо­мор­физ­мов. 3) По­лу­груп­па с еди­ни­цей яв­ля­ет­ся ка­те­го­ри­ей с од­ним объ­ек­том, и на­обо­рот, ка­ж­дая ка­те­го­рия, со­стоя­щая из од­но­го объ­ек­та, есть по­лу­груп­па с еди­ни­цей.

Все пе­ре­чис­лен­ные ка­те­го­рии до­пус­ка­ют изо­морф­ное вло­же­ние в ка­те­го­рию мно­жеств. Ка­те­го­рии, об­ла­даю­щие этим свой­ст­вом, на­зы­ва­ют­ся кон­крет­ны­ми ка­те­го­рия­ми. Чис­ло при­ме­ров ка­те­го­рий мож­но зна­чи­тель­но уве­ли­чить при по­мо­щи разл. кон­ст­рук­ций, и пре­ж­де все­го при по­мо­щи ка­те­го­рий функ­то­ров или ка­те­го­рий диа­грамм (ото­бра­же­ние не­ко­то­ро­го ори­ен­ти­ро­ван­но­го гра­фа в ка­те­го­рию).

По­ня­тие ка­те­го­рии бы­ло вве­де­но амер. учё­ны­ми С. Эй­лен­бер­гом и С. Мак­лей­ном (1945). Сво­им про­ис­хо­ж­де­ни­ем и пер­во­на­чаль­ны­ми сти­му­ла­ми раз­ви­тия К. т. обя­за­на ал­геб­ра­ич. то­по­ло­гии. По­сле­дую­щие ис­сле­до­ва­ния вы­яви­ли объ­е­ди­няю­щую и уни­фи­ци­рую­щую роль по­ня­тия ка­те­го­рии и свя­зан­но­го с ним по­ня­тия функ­то­ра для мн. раз­де­лов ма­те­ма­ти­ки. Тео­ре­ти­ко-ка­те­гор­ный ана­лиз ос­нов тео­рии го­мо­ло­гий при­вёл к вы­де­ле­нию в сер. 1950-х гг. т. н. абе­ле­вых ка­те­го­рий, в рам­ках ко­то­рых ока­за­лось воз­мож­ным осу­ще­ст­вить осн. по­строе­ния го­мо­ло­ги­че­ской ал­геб­ры

. В 1960-е гг. оп­ре­де­лил­ся воз­рас­таю­щий ин­те­рес к не­абе­ле­вым ка­те­го­ри­ям, вы­зван­ный за­да­ча­ми ло­ги­ки, об­щей ал­геб­ры, то­по­ло­гии и ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии. Ин­тен­сив­ное раз­ви­тие уни­вер­саль­ной ал­геб­ры

 >>

и ак­сио­ма­тич. по­стро­е­ния тео­рии го­мо­то­пий

 >>

по­ло­жи­ли на­ча­ло разл. на­прав­ле­ни­ям ис­сле­до­ва­ний: ка­те­гор­но­му изу­че­нию мно­го­об­ра­зий уни­вер­саль­ных ал­гебр, тео­рии изо­мор­физ­мов пря­мых раз­ло­же­ний, тео­рии со­пря­жён­ных функ­то­ров и тео­рии двой­ст­вен­но­сти функ­то­ров. В даль­ней­шем об­на­ру­жи­лись су­ще­ст­вен­ные взаи­мо­свя­зи ме­ж­ду эти­ми ис­сле­до­ва­ния­ми. Напр., бы­ла ус­та­нов­ле­на двой­ст­вен­ность ме­ж­ду тео­ри­ей го­мо­то­пий и тео­ри­ей уни­вер­саль­ных ал­гебр. В ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии су­ще­ст­вен­но ис­поль­зу­ют­ся т. н. про­из­воль­ные ка­те­го­рии.