ГОМОТО́ПИЯ

ГОМОТО́ПИЯ (от го­мо... и греч. τόπος – ме­сто), фор­ма­ли­за­ция ин­туи­тив­но­го представ­ле­ния о де­фор­ми­руе­мо­сти од­но­го ото­бра­же­ния в дру­гое. Точ­нее, ото­бра­же­ния f и g про­стран­ст­ва X в про­стран­ст­во Y на­зы­ва­ют­ся го­мо­топ­ны­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кое се­мей­ст­во не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ний f_t:X→Y, не­пре­рыв­но за­ви­ся­щих от па­ра­мет­ра t∈ [0, 1], что f₀=f, f₁=g; в этом слу­чае пи­шут f∼g. Это се­мей­ст­во, на­зы­вае­мое Г., свя­зы­ваю­щей f с g, яв­ля­ет­ся пу­тём в про­стран­ст­ве Φ(X, Y) всех не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ний X→Y, свя­зы­ваю­щим точ­ку f с точ­кой g, так что го­мо­топ­ность ото­бра­же­ний яв­ля­ет­ся ча­ст­ным слу­ча­ем об­ще­го от­но­ше­ния «быть свя­зан­ным не­пре­рыв­ным пу­тём» для про­странств ото­бра­же­ний. По­это­му, в ча­ст­но­сти, от­но­ше­ние го­мо­топ­но­сти яв­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем эк­ви­ва­лент­но­сти, а со­от­вет­ст­вую­щие клас­сы (они на­зы­ва­ют­ся го­мо­то­пич. клас­са­ми) пред­став­ля­ют со­бой ком­по­нен­ты ли­ней­ной связ­но­сти про­стран­ст­ва Φ(X, Y). Обыч­но счи­та­ет­ся, что f_t(x) не­пре­рыв­но за­ви­сит от t, ес­ли функ­ция f_t(x) не­пре­рыв­на по со­во­куп­но­сти пе­ре­мен­ных, т. е. не­пре­рыв­но ото­бра­же­ние F(x, t)=f_t(x), оп­ре­де­лён­ное фор­му­лой F:X× [0, 1]→Y (это ото­бра­же­ние так­же час­то на­зы­ва­ют Г., свя­зы­ваю­щей f с g).