У́ГОЛ

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

У́ГОЛ, гео­мет­рич. фи­гу­ра, со­стоя­щая из двух лу­чей, вы­хо­дя­щих из од­ной точ­ки. Лу­чи на­зы­ва­ют­ся сто­ро­на­ми У., а их об­щее на­ча­ло – вер­ши­ной У. (рис. 1). Ино­гда У. оп­ре­де­ля­ют как часть плос­ко­сти, за­клю­чён­ную ме­ж­ду дву­мя лу­ча­ми с об­щим на­ча­лом. Два У. на­зы­ва­ют­ся рав­ными (кон­гру­энт­ны­ми), ес­ли они мо­гут быть со­вме­ще­ны так, что сов­па­дут их со­от­вет­ст­вую­щие сто­ро­ны и вер­ши­ны. Два У. на­зы­ва­ют­ся смеж­ны­ми, ес­ли у них об­щая вер­ши­на и од­на сто­ро­на, а две дру­гие ле­жат на од­ной пря­мой (рис. 2). У. на­зы­ва­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми, ес­ли сто­ро­ны од­но­го У. яв­ля­ют­ся про­дол­же­ния­ми за вер­ши­ну сто­рон дру­го­го (рис. 3); вер­ти­каль­ные уг­лы рав­ны ме­ж­ду со­бой. У., у ко­то­ро­го сто­ро­ны об­ра­зу­ют пря­мую, на­зы­ва­ет­ся раз­вёр­ну­тым (рис. 4). У., рав­ный сво­ему смеж­но­му, на­зы­ва­ет­ся пря­мым (рис. 5а); У., мень­ший пря­мо­го, – ост­рым (рис. 5б), У., боль­ший пря­мо­го и мень­ший раз­вёр­ну­то­го, – ту­пым (рис. 5в).

Рис. 5.

Рис. 6.

При пе­ре­се­че­нии двух пря­мых, ле­жащих в од­ной плос­ко­сти, треть­ей пря­мой об­ра­зу­ют­ся 8 уг­лов, по­ка­зан­ных на рис. 6. Па­ры У. 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7 на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­ны­ми, па­ры У. 2 и 5, 3 и 8 на­зы­ва­ют­ся внут­рен­ни­ми од­но­сто­рон­ни­ми, па­ры У. 1 и 6, 4 и 7 – внеш­ни­ми од­но­сто­рон­ни­ми. Па­ры У. 3 и 5, 2 и 8 на­зы­ва­ют­ся внут­рен­ни­ми на­крест ле­жа­щи­ми, па­ры У. 1 и 7, 4 и 6 – внеш­ни­ми на­крест ле­жа­щи­ми. Ес­ли при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей на­крест ле­жа­щие У. рав­ны, то пря­мые па­рал­лель­ны. Ес­ли при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей со­от­вет­ст­вен­ные У. рав­ны, то пря­мые па­рал­лель­ны. Ес­ли при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей сум­ма од­но­сто­рон­них уг­лов есть раз­вёр­ну­тый угол, то пря­мые па­рал­лель­ны.

За У. ме­ж­ду скре­щи­ваю­щи­ми­ся пря­мы­ми при­ни­ма­ют У. ме­ж­ду пря­мы­ми, па­рал­лель­ны­ми скре­щи­ваю­щим­ся и про­хо­дя­щи­ми че­рез про­из­воль­ную точ­ку про­стран­ст­ва.

У. ме­ж­ду пря­мой и плос­ко­стью, пе­ре­се­каю­щую эту пря­мую и не пер­пен­ди­ку­ляр­ную к ней, на­зы­ва­ют У. ме­ж­ду пря­мой и её про­ек­ци­ей на плос­кость. Этот угол яв­ля­ет­ся наи­мень­шим сре­ди всех У., ко­то­рые об­ра­зу­ет дан­ная пря­мая с пря­мы­ми, про­ве­дён­ны­ми в плос­ко­сти че­рез точ­ку их пе­ре­се­че­ния. Ес­ли пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти, то угол ме­ж­ду пря­мой и плос­ко­стью счи­та­ет­ся рав­ным пря­мо­му уг­лу.

За еди­ни­цу из­ме­ре­ния уг­лов при­ня­та ¹/₉₀ до­ля пря­мо­го уг­ла, на­зы­вае­мая гра­ду­сом. Ис­поль­зу­ет­ся так­же ра­ди­ан­ная ме­ра У. (см. Ра­ди­ан).

См. так­же Дву­гран­ный угол, Мно­го­гран­ный угол, Те­лес­ный угол, Трёх­гран­ный угол.