МОДЕ́ЛЕЙ ТЕО́РИЯ

МОДЕ́ЛЕЙ ТЕО́РИЯ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, воз­ник­ший при при­ме­не­нии ме­то­дов ма­те­ма­тич. ло­ги­ки в ал­геб­ре. Во 2-й пол. 20 в. М. т. офор­ми­лась в са­мо­сто­ят. дис­ци­п­ли­ну, ме­то­ды и ре­зуль­та­ты ко­то­рой на­хо­дят при­ме­не­ние как в ал­геб­ре, так и в др. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки. Осн. по­ня­тия М. т. – по­ня­тия ал­геб­ра­ич. сис­те­мы, фор­ма­ли­зо­ван­но­го язы­ка, ис­тин­но­сти вы­ска­зы­ва­ния рас­смат­ри­вае­мо­го язы­ка в дан­ной ал­геб­ра­ич. сис­те­ме. При­ме­ром ал­геб­ра­ич. сис­те­мы яв­ля­ет­ся сис­те­ма на­ту­раль­ных чи­сел вме­сте с опе­ра­ция­ми сло­же­ния и ум­но­же­ния, от­но­ше­ни­ем по­ряд­ка и вы­де­лен­ны­ми эле­мен­та­ми 0, 1. Про­стей­шие вы­ска­зы­ва­ния об этой сис­те­ме – вы­ска­зы­ва­ния ти­па $«x+y=z$ при $x=2, y=3, z=5», «x·y=z$ при $x=4, y=2, z=8», «x{<}y$ при $x=2, y=3»$. Бо­лее слож­ные вы­ска­зы­ва­ния по­лу­ча­ют­ся из про­стей­ших при по­мо­щи про­по­зи­цио­наль­ных свя­зок «и», «или», «ес­ли..., то...», «не», а так­же кван­то­ров ∀x (для ка­ж­до­го $x...$), $∃x$ (су­ще­ст­ву­ет та­кое $x$, что...). Напр., ут­вер­жде­ние, что чис­ла $u$ и $v$ вза­им­но про­сты, за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де: «для ка­ж­дых $x, y$ и $z$, ес­ли $u=x·у$ и $v=x·z$, то $x=1$» и по­лу­ча­ет­ся из про­стей­ших при по­мо­щи про­по­зи­цио­наль­ных свя­зок и кван­то­ров.

В об­щем слу­чае под ал­геб­ра­ич. сис­те­мой по­ни­ма­ет­ся не­пус­тое мно­же­ст­во вме­сте с за­дан­ны­ми на этом мно­же­ст­ве со­во­куп­но­стя­ми от­но­ше­ний и опе­ра­ций от ко­неч­но­го чис­ла ар­гу­мен­тов. Эти опе­ра­ции и от­но­ше­ния на­зы­ва­ют­ся ос­нов­ны­ми в ал­геб­ра­ич. сис­те­ме. Ка­ж­дой та­кой опе­ра­ции и ка­ж­до­му та­ко­му от­но­ше­нию ста­вит­ся в со­от­вет­ст­вие оп­ре­де­лён­ный сим­вол. На­бор $Ω$ этих сим­во­лов на­зы­ва­ет­ся сиг­на­ту­рой ал­геб­ра­ич. сис­те­мы. Обыч­но изу­ча­ют­ся клас­сы ал­геб­ра­ич. сис­тем од­ной сиг­на­ту­ры.

Важ­ней­ши­ми из фор­ма­ли­зо­ван­ных язы­ков яв­ля­ют­ся язы­ки 1-й сту­пе­ни. Ал­фа­вит та­ко­го язы­ка со­сто­ит из на­бо­ра $Ω$ сим­во­лов от­но­ше­ний и опе­ра­ций; зна­ков $\And, ∨, ♦, ⌉, ∀, ∃,$ обо­зна­чаю­щих про­по­зи­цио­наль­ные связ­ки и кван­то­ры; на­бо­ра сим­во­лов, на­зы­вае­мых пред­мет­ны­ми пе­ре­мен­ны­ми, а так­же ско­бок и за­пя­той. При этом ка­ж­до­му сим­во­лу от­но­ше­ния или опе­ра­ции при­пи­сы­ва­ет­ся на­ту­раль­ное чис­ло, на­зы­вае­мое ар­но­стью (ме­ст­но­стью) это­го сим­во­ла; оно рав­но чис­лу ар­гу­мен­тов той опе­ра­ции или то­го от­но­ше­ния, ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ет рас­смат­ри­вае­мый сим­вол. В чис­ло сим­во­лов от­но­ше­ний вклю­ча­ет­ся спец. сим­вол = для от­но­ше­ния ра­вен­ст­ва. Ин­дук­тив­но оп­ре­де­ля­ют­ся по­ня­тия тер­ма и фор­му­лы. Пред­мет­ные пе­ре­мен­ные яв­ля­ют­ся тер­ма­ми. Ес­ли $f$ – сим­вол $n$-ар­ной опе­ра­ции, а про $g_1,...,g_n$ уже из­вест­но, что они тер­мы, то $f(g_1,...,g_n)$ есть то­же терм. Про­стей­шие фор­му­лы – вы­ра­же­ния ви­да $P(g_1,...,g_n)$, где $P$ есть $n$-ар­ный сим­вол от­но­ше­ния, а $g_1,...,g_n$ – тер­мы. Бо­лее слож­ные фор­му­лы по­лу­ча­ют­ся из про­стей­ших с по­мо­щью ко­неч­но­го чис­ла свя­зы­ва­ний их зна­ка­ми кван­то­ров и про­по­зи­цио­наль­ных свя­зок. Сим­во­лы пред­мет­ных пе­ре­мен­ных, встре­чаю­щие­ся в фор­му­ле, раз­де­ля­ют­ся на сво­бод­ные и свя­зан­ные. Свя­зан­ные на­хо­дят­ся в об­лас­ти дей­ст­вия кван­то­ра по это­му пе­ре­мен­но­му, а ос­таль­ные сво­бод­ные. Напр., в фор­му­ле $$(∀x)(∃y)(f(x,y)=z∨f(x,y)=u)$$ сво­бод­ны­ми яв­ля­ют­ся $z$ и $u$, а $x$ и $y$ свя­за­ны кван­то­ра­ми. Фор­му­лы без сво­бод­ных пе­ре­мен­ных на­зы­ва­ют­ся вы­ска­зы­ва­ния­ми. Ка­ж­дая фор­му­ла со сво­бод­ны­ми пе­ре­мен­ны­ми $x_1,...,x_n$ на ка­ж­дой ал­геб­ра­ич. сис­те­ме $A$ сиг­на­ту­ры $Ω$ оп­ре­де­ля­ет $n$-ар­ное от­но­ше­ние. Напр., фор­му­ла, за­пи­сы­ваю­щая ут­вер­жде­ние, что чис­ла $u$ и $v$ вза­им­но про­стые, оп­ре­де­ля­ет на на­ту­раль­ных чис­лах от­но­ше­ние вза­им­ной про­сто­ты, ко­то­рое для па­ры (3, 5) ис­тин­но, а для па­ры (2, 4) лож­но. Для про­стей­ших фор­мул со­от­вет­ст­вую­щее от­но­ше­ние фак­ти­че­ски за­да­ёт­ся са­мой сис­те­мой $A$. Для бо­лее слож­ных фор­мул со­от­вет­ствую­щее от­но­ше­ние оп­ре­де­ля­ет­ся пу­тём ин­тер­пре­та­ции кван­то­ров и про­по­зи­цио­наль­ных свя­зок: $(Ф_1 \And Ф_2)$ ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся как «$Ф_1$ и $Ф_2$», $(Ф_1∨Ф_2)$ – как «$Ф_1$ или $Ф_2$», $(Ф_1♦Ф_2)$ – как «ес­ли $Ф_1$, то $Ф_2$», $⌉Ф$ – как «не­вер­но, что $Ф$», $(∀x)Ф$ – как «для всех $x$ $Ф$», $(∃x)Ф$ – как «су­ще­ст­ву­ет $x$, для ко­то­ро­го $Ф$». Со­глас­но это­му оп­ре­де­ле­нию, ка­ж­дое вы­ска­зы­ва­ние в ка­ж­дой ал­геб­ра­ич. сис­те­ме со­от­вет­ст­вую­щей сиг­на­ту­ры ли­бо лож­но, ли­бо ис­тин­но. Напр., ес­ли сим­во­лу $f$ ста­вит­ся в со­от­вет­ст­вие опе­ра­ция сло­же­ния на на­ту­раль­ных чис­лах, то фор­му­ла $(∀x) f(x, x)=f(f(x, x), x)$, ут­вер­ждаю­щая, что $2x=3x$ для всех $x$, лож­на на на­ту­раль­ных чис­лах, а фор­му­ла $(∀x)(f(x, x)=x♦f(x, х)=f(f(x, x), x))$, ут­вер­ждаю­щая, что ес­ли $2x=x$, то $2x=3x$, ис­тин­на. Ал­геб­ра­ич. сис­те­ма $A$ на­зы­ва­ет­ся мо­де­лью дан­но­го мно­же­ст­ва $Σ$ вы­ска­зы­ва­ний, ес­ли ка­ж­дое вы­ска­зы­ва­ние из $Σ$ ис­тин­но в $A$. Класс $K$ ал­геб­ра­ич. сис­тем на­зы­ва­ет­ся ак­сио­ма­ти­зи­руе­мым, ес­ли $K$ есть со­во­куп­ность всех мо­де­лей не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва вы­ска­зы­ва­ний. Мно­гие важ­ные клас­сы ал­геб­ра­ич. сис­тем, напр. клас­сы групп, ко­лец, по­лей, ак­сио­ма­ти­зи­руе­мы.

Изу­че­ние об­щих свойств ак­сио­ма­ти­зи­руе­мых клас­сов – важ­ная часть М. т. Во мно­гих слу­ча­ях по фор­ме вы­ска­зы­ва­ний из $Σ$ уда­ёт­ся су­дить о не­ко­то­рых ал­геб­ра­ич. свой­ст­вах клас­са всех мо­де­лей $Σ$. Напр., тот факт, что го­мо­морф­ные об­ра­зы и пря­мые про­из­ве­де­ния групп сно­ва ока­зы­ва­ют­ся груп­па­ми, есть след­ст­вие то­го, что класс групп мо­жет быть оп­ре­де­лён как со­во­куп­ность всех мо­де­лей та­кой со­во­куп­но­сти вы­ска­зы­ва­ний $Σ$, что ка­ж­дое вы­ска­зы­ва­ние из $Σ$ име­ет вид $(∀x_1)...(∀x_n)f=g$, где $f, g$ – тер­мы.

Фун­дам. ре­зуль­тат М. т. – ло­каль­ная тео­ре­ма Маль­це­ва (1936), со­глас­но ко­то­рой ес­ли ка­ж­дая ко­неч­ная под­со­во­куп­ность со­во­куп­но­сти $Σ$ вы­ска­зы­ва­ний име­ет мо­дель, то и $Σ$ име­ет мо­дель. А. И. Маль­цев на­шёл мно­го­числ. при­ме­не­ния этой тео­ре­мы для до­ка­за­тель­ст­ва т. н. ло­каль­ных тео­рем ал­геб­ры.

Важ­ным фак­том в тео­рии ак­сио­ма­ти­зи­руе­мых клас­сов яв­ля­ет­ся тео­ре­ма Лё­вен­хей­ма – Ско­ле­ма: вся­кий ак­сио­ма­тизи­ру­е­мый класс ко­неч­ной или счёт­ной сиг­на­ту­ры, со­дер­жа­щий бес­ко­неч­ные сис­те­мы, со­дер­жит и счёт­ную сис­те­му. В ча­ст­но­сти, нель­зя ука­зать та­кую со­во­куп­ность вы­ска­зы­ва­ний, все мо­де­ли ко­то­рой бы­ли бы изо­морф­ны од­ной бес­ко­неч­ной ал­геб­ра­ич. сис­те­ме, напр. по­лю ком­плекс­ных чи­сел или коль­цу це­лых чи­сел. Од­на­ко су­ще­ст­ву­ют ак­сио­ма­ти­зи­руе­мые клас­сы, все сис­те­мы ко­то­рых дан­ной бес­ко­неч­ной мощ­но­сти изо­морф­ны.

Од­ной из важ­ных кон­крет­ных со­во­куп­но­стей вы­ска­зы­ва­ний яв­ля­ет­ся со­во­куп­ность, оп­ре­де­ляю­щая по­ня­тие мно­же­ст­ва. Это по­ня­тие опи­сы­ва­ет­ся на язы­ке 1-й сту­пе­ни, сиг­на­ту­ра ко­то­ро­го со­сто­ит из од­но­го сим­во­ла – сим­во­ла би­нар­но­го от­но­ше­ния, ин­тер­пре­ти­руе­мо­го как «$x$ есть эле­мент $y$». Су­ще­ст­ву­ет неск. ва­ри­ан­тов та­ких опи­са­ний, ка­ж­дый из ко­то­рых осу­ще­ст­в­ля­ет­ся при по­мо­щи сво­ей со­во­куп­но­сти вы­ска­зы­ва­ний. Эти со­во­куп­но­сти на­зы­ва­ют­ся сис­те­ма­ми ак­си­ом тео­рии мно­жеств. Раз­ви­тие М. т. по­ка­за­ло, что нель­зя вы­брать та­кую сис­те­му ак­си­ом для тео­рии мно­жеств, ко­то­рая удов­ле­тво­ри­ла бы все по­треб­но­сти ма­те­ма­ти­ки (см. так­же Ак­сио­ма­ти­че­ская тео­рия мно­жеств).

Историческая справка

Осн. по­ня­тия М. т. воз­ник­ли в ма­те­ма­ти­ке в 19 в., гл. обр. в ра­бо­тах по ос­но­ва­ни­ям гео­мет­рии. К по­ня­тию мо­де­ли дан­но­го мно­же­ст­ва вы­ска­зы­ва­ний вплот­ную по­до­шёл Н. И. Ло­ба­чев­ский в ра­бо­тах по гео­метрии. В пол­ной ме­ре оно про­яви­лось в тру­дах Э. Бельт­ра­ми и Ф. Клей­на, по­стро­ив­ших мо­де­ли гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го, и Д. Гиль­бер­та, сфор­му­ли­ро­вав­ше­го пол­ную сис­те­му ак­си­ом эле­мен­тар­ной гео­мет­рии. М. т. раз­ви­ва­лась как са­мо­сто­ят. раз­дел ло­ги­ки в нач. 1930-х гг. в ра­бо­тах норв. ма­те­ма­ти­ка Т. А. Ско­ле­ма, К. Гё­де­ля, А. Тар­ско­го и А. И. Маль­це­ва. Центр. по­ня­тия и ре­зуль­та­ты М. т. сло­жи­лись к 1960-м гг., важ­ную роль в раз­ви­тии М. т. сыг­ра­ли шко­лы А. Тар­ско­го и А. Ро­бин­со­на в США и А. И. Маль­це­ва в СССР.

Цен­траль­ная часть совр. М. т. – это изу­че­ние эле­мен­тар­ных тео­рий, т. е. тео­рий, опи­сы­вае­мых на язы­ке 1-й сту­пе­ни. Од­на­ко изу­ча­ют­ся и тео­рии, опи­сы­вае­мые при по­мо­щи бо­лее бо­га­тых язы­ков. Для совр. эта­па раз­ви­тия ха­рак­тер­но про­ник­но­ве­ние в М. т. гео­мет­рич. идей и ме­то­дов. Но­вым, ак­тив­но раз­ви­ваю­щим­ся на­прав­ле­ни­ем так­же яв­ля­ет­ся тео­рия ко­неч­ных мо­де­лей, свя­зан­ная с ис­сле­до­ва­ни­ем слож­но­сти вы­чис­ле­ний и имею­щая важ­ные при­ло­же­ния в ин­фор­ма­ти­ке.