ФОРМАЛИЗО́ВАННЫЙ ЯЗЫ́К

ФОРМАЛИЗО́ВАННЫЙ ЯЗЫ́К (фор­маль­ный язык), ис­кус­ст­вен­ный (в от­ли­чие от ес­те­ст­вен­ных, напр., рус­ско­го) язык, ха­рак­те­ри­зую­щий­ся точ­ны­ми пра­ви­ла­ми по­строе­ния вы­ра­же­ний и их по­ни­ма­ния. На про­тя­же­нии всей ис­то­рии раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки в ней ши­ро­ко ис­поль­зо­ва­лись сим­во­лич. обо­зна­че­ния для разл. объ­ек­тов и по­ня­тий. Од­на­ко на­ря­ду с сим­волич. обо­зна­че­ния­ми ма­те­ма­ти­ки сво­бод­но поль­зо­ва­лись и обыч­ным язы­ком. По­треб­ность в пол­ной фор­ма­ли­за­ции ма­те­ма­тич. тео­рий, т. е. в из­ло­же­нии этих тео­рий на Ф. я., воз­ник­ла в свя­зи с за­да­чей ло­гич. ана­ли­за ма­те­ма­тич. су­ж­де­ний, уточ­не­ния по­ня­тия до­ка­за­тель­ст­ва в ма­те­ма­ти­ке. Ф. я., ис­поль­зуе­мые для фор­ма­ли­за­ции ма­те­ма­тич. тео­рий, обыч­но на­зы­ва­ют ло­ги­ко-ма­те­ма­ти­че­ски­ми язы­ка­ми, т. к. в них со­че­та­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние ма­те­ма­тич. и ло­гич. сим­во­ли­ки. Сре­ди этих язы­ков важ­ное ме­сто за­ни­ма­ют т. н. язы­ки 1-го по­ряд­ка, ко­то­рые стро­ят­ся по сле­дую­щей схе­ме.

По­строе­ние вся­ко­го язы­ка на­чи­на­ет­ся с ука­за­ния ал­фа­ви­та это­го язы­ка, т. е. пе­реч­ня сим­во­лов (букв), из ко­то­рых бу­дут стро­ить­ся все вы­ра­же­ния язы­ка. За­тем опи­сы­ва­ет­ся син­так­сис Ф. я. – пра­ви­ла по­строе­ния ос­мыс­лен­ных вы­ра­же­ний. В ло­ги­ко-ма­те­ма­тич. язы­ках сре­ди та­ких вы­ра­же­ний раз­ли­ча­ют тер­мы и фор­му­лы. Тер­ма­ми на­зы­ва­ют­ся вы­ра­же­ния, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ана­ло­га­ми имён объ­ек­тов фор­ма­ли­зуе­мой тео­рии и со­от­вет­ст­вую­щих имен­ных форм. К тер­мам пре­ж­де все­го от­но­сят­ся пред­мет­ные пе­ре­мен­ные и пред­мет­ные кон­стан­ты – вы­ра­же­ния, слу­жа­щие для обо­зна­че­ния кон­крет­ных объ­ек­тов. По оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам из пред­мет­ных кон­стант и пе­ре­мен­ных стро­ят­ся бо­лее слож­ные тер­мы. Обыч­но для это­го ис­поль­зу­ют­ся функ­цио­наль­ные сим­во­лы – име­на кон­крет­ных функ­ций. Ес­ли f есть n-ме­ст­ный функ­цио­наль­ный сим­вол, а t₁, ..., t_n – тер­мы, то вы­ра­же­ние f(t₁, ..., t_n) то­же счи­та­ет­ся тер­мом.

Из тер­мов с по­мо­щью пре­ди­кат­ных сим­во­лов (имён кон­крет­ных пре­ди­ка­тов) и сим­во­лов ло­гич. опе­ра­ций, или ло­гич. сим­во­лов, стро­ят­ся фор­му­лы – вы­ра­же­ния, со­от­вет­ст­вую­щие вы­ска­зы­ва­ни­ям и вы­ска­зы­ва­тель­ным фор­мам обыч­но­го язы­ка. Ес­ли P – n-ме­ст­ный пре­ди­кат­ный сим­вол, а t₁, ..., t_n – тер­мы, то вы­ра­же­ние P(t₁, ..., t_n) на­зы­ва­ет­ся эле­мен­тар­ной фор­му­лой. Из эле­мен­тар­ных фор­мул стро­ят­ся бо­лее слож­ные фор­му­лы, при этом ло­гич. сим­во­лы иг­ра­ют ту же роль, что сою­зы и др. слу­жеб­ные сло­ва при по­строе­нии слож­ных пред­ло­же­ний обыч­но­го язы­ка. Наи­бо­лее час­то в ло­ги­ко-ма­те­ма­тич. язы­ках ис­поль­зу­ют­ся сле­дую­щие ло­гич. сим­во­лы: ⊃  – знак им­пли­ка­ции, ∧ – знак конъ­юнк­ции, ∨ – знак дизъ­юнк­ции, ¬ – знак от­ри­ца­ния, ∀ – кван­тор все­общ­но­сти, ∃ – кван­тор су­ще­ст­во­ва­ния.

По­строе­ние вся­ко­го кон­крет­но­го ло­ги­ко-ма­те­ма­тич. язы­ка 1-го по­ряд­ка ве­дёт­ся по ука­зан­ной схе­ме пу­тём вы­бо­ра кон­крет­ных функ­цио­наль­ных и пре­ди­кат­ных сим­во­лов и сим­во­лов ло­гич. опе­ра­ций. Чис­ло пред­мет­ных кон­стант, функ­цио­наль­ных и пре­ди­кат­ных сим­во­лов мо­жет быть как ко­неч­ным, так и бес­ко­неч­ным. Это, од­на­ко, не оз­на­ча­ет, что ал­фа­вит язы­ка дол­жен быть бес­ко­неч­ным, т. к. в ка­че­ст­ве пе­ре­мен­ных мо­гут ис­поль­зо­вать­ся не толь­ко отд. бу­к­вы, но и их со­че­та­ния.

Син­так­сич. пра­ви­ла оп­ре­де­ля­ют класс ос­мыс­лен­ных вы­ра­же­ний Ф. я. По­ни­ма­ние этих вы­ра­же­ний, или се­ман­ти­ка Ф. я., обыч­но под­ра­зу­ме­ва­ет­ся при его по­строе­нии. Ин­тер­пре­та­ция вы­ра­же­ний Ф. я., ко­то­рая пред­по­ла­га­лась при его по­строе­нии, на­зы­ва­ет­ся на­ме­рен­ной или гл. ин­тер­пре­та­ци­ей. На­ря­ду с ней, воз­мож­ны и др. ин­тер­пре­та­ции.

Опи­са­ние син­так­си­са и се­ман­ти­ки Ф. я. обыч­но ве­дёт­ся на к.-л. ес­те­ст­вен­ном язы­ке, ко­то­рый та­ким об­ра­зом вы­сту­па­ет как ме­та­язык по от­но­ше­нию к дан­но­му фор­ма­ли­зов. язы­ку.

На­ря­ду с опи­сан­ны­ми вы­ше язы­ка­ми 1-го по­ряд­ка, рас­смат­ри­ва­ют­ся язы­ки бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков. Ло­ги­ко-ма­те­ма­тич. язы­ки иг­ра­ют су­ще­ст­вен­ную роль в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке и ис­сле­до­ва­ни­ях по ос­но­ва­ни­ям ма­те­ма­ти­ки. На­ря­ду с ни­ми, ши­ро­кое при­ме­не­ние по­лу­чи­ли ал­го­рит­мич. язы­ки и язы­ки про­грам­ми­ро­ва­ния – Ф. я., слу­жа­щие для за­пи­си ал­го­рит­мов, под­ле­жа­щих вы­пол­не­нию на вы­чис­лит. ма­ши­нах.