Многогра́нник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, – к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Приведённое определение многогранника даёт различные понятия в зависимости от того, как определить многоугольник. Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к 1-му определению многогранника. Основная часть статьи построена на основе 2-го определения многогранника, при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. что эти тела не односвязны.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда его грани также выпуклы. Выпуклый многогранник разбивает пространство на 2 части – внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник – выпуклый.

Важнейшими утверждениями общей теории выпуклых многогранников (рассматриваемых как поверхности) являются следующие теоремы.

Теорема Эйлера (получена Л. Эйлером, 1758): число вершин $b$ минус число рёбер $p$ плюс число граней $r$ выпуклого многогранника (эйлерова характеристика многогранника) равно двум, т. е. $b-p+r=2$.

Теорема Коши (получена О. Коши, 1812): если $2$ выпуклых многогранника изометричны друг другу (т. е. один многогранник может быть взаимно однозначно отображён на другой многогранник с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй многогранник может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого многогранника жёсткие, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по рёбрам шарнирно. Это утверждение в качестве гипотезы высказывалось Евклидом.

Теорема Александрова (получена А. Д. Александровым, 1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какая сторона какого из них с какой стороной какого другого будет склеена (склеиваемые стороны должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) многогранника, то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого многогранника, необходимо и достаточно:

а) чтобы удовлетворялось условие Эйлера $b-p+r=2$ и

б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше $360°$.

Эта теорема является теоремой существования, т. к. она показывает, для каких развёрток существуют выпуклые многогранники, а теорема Коши является для неё теоремой единственности, т. к. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый многогранник с такой развёрткой.

Теорема (существования) Минковского (получена Г. Минковским, 1896): существует выпуклый многогранник с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.

Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый многогранник вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; эту теорему усиливает теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых многогранника с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.

Теорема Штейница (получена немецким математиком Э. Штейницем, 1917): существует выпуклый многогранник с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого многогранника называют сетку, составленную его рёбрами. Два многогранника принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними.

Рис. 1. Сетки многогранника.Рис. 1. Сетки многогранника.Сетку рёбер выпуклого многогранника можно спроектировать на плоскость из внешней точки, близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде выпуклого многоугольника, а все остальные – в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер многогранника при таком проектировании не меняется. Число $m$ типов многогранников с данным числом $n$ граней ограничено, а именно: если $n= 4, 5, 6, 7, 8, ...,$ то $m= 1, 2, 7, 34, 257, ...$ На рис. 1 даны сетки всех типов для $n= 4, 5, 6.$

Наиболее важны следующие специальные выпуклые многогранники.

Правильные многогранники

Правильные многогранники (тела Платона) – выпуклые многогранники, все грани которых суть конгруэнтные (равные) правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника правильные и равные. Из подсчёта суммы плоских углов при вершине следует, что выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Существование именно пяти правильных многогранников было доказано Евклидом. Они – правильные тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (см. рис. 2, 1–5).

Рис. 2. Многогранники: 1–5 – правильные выпуклые многогранники (тела Платона); 6–9 – правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо); 10–23 – полуправильные выпуклые многогранники (тела Архимеда); 24–25 – призмы и антипризмы Архимеда; 26–30 – выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова).Рис. 2. Многогранники: 1–5 – правильные выпуклые многогранники (тела Платона); 6–9 – правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо); 10–23 – полуправильные выпуклые многогранники (тела Архимеда); 24–25 – призмы и антипризмы Архимеда; 26–30 – выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова).Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично, дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так из куба получаются все остальные правильные многогранники.

Ниже приводятся радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных многогранников ($a$ – длина ребра многогранника).

Таблица некоторых характеристик правильных многогранников

Изоэдры и изогоны

Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый многогранник, что группа его поворотов (1-го и 2-го родов, см. Движение) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если многогранник одновременно и изогон, и изоэдр, то он – правильный многогранник. Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется $13$ специальных типов и 2 бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так многогранники называются полуправильными (телами Архимеда, см. рис. 2, 10–23; призмой – 24; антипризмой – 25).

Параллелоэдры

Параллелоэдры (выпуклые многогранники, найденные Е. С. Фёдоровым, 1881) – многогранники, рассматриваемые как тела, параллельными переносами которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная

$6$-угольная призма. Существует $5$ топологически различных сеток рёбер параллелоэдров (см. рис. 2, 26–30). Число их граней – $6, 8, 12, 12, 14$. Для того чтобы многогранник был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым многогранником одного из $5$ указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то (вообще говоря, не прямоугольной) декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки $O$ рассматриваемой решётки $Λ$ не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Вороного $D_{OΛ}$ точки $O$ в решётке $Λ$. Область $D_{OΛ}$ является выпуклым многогранником с центром в точке $O$. Совокупность областей Вороного всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Произвольное (даже

$n$-мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится $n+1$ параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Вороного для некоторой решётки.

Всякое движение, переводящее в себя решётку $Λ$ и оставляющее на месте точку $O$, преобразует в себя область $D_{OΛ}$ и обратно. Существует $7$ групп таких движений: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

Кристаллографические многогранники

Каждая из $7$ рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп $32$; их называют кристаллографическими классами. Если взять плоскость, не проходящую через точку $O$, и подвергнуть её всем поворотам какого-либо кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке $O$, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в 1-м случае замкнутыми, во 2-м и 3-м – открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует $30$ различных в этом смысле замкнутых форм и $17$ открытых, каждая из них имеет своё название.

Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении многогранника, можно указать ещё $4$ правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо, см. рис. 2, 6–9), впервые найденных Л. Пуансо в 1809 г. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных многогранников дал О. Коши в 1811 г.

Можно рассматривать и $n$-мерные многогранники, для которых верны некоторые из указанных теорем. Оказывается, что при $n= 4$ существуют $6$ выпуклых правильных многогранников, при больших $n$ их всего $3$: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра.