МНОГОГРА́ННИК

МНОГОГРА́ННИК в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве, со­во­куп­ность ко­неч­но­го чис­ла пло­ских мно­го­уголь­ни­ков та­кая, что ка­ж­дая сто­ро­на лю­бо­го из мно­го­уголь­ни­ков есть од­но­вре­мен­но сто­ро­на дру­го­го (толь­ко од­но­го), на­зы­вае­мо­го смеж­ным с пер­вым (по этой сто­ро­не); от лю­бо­го из мно­го­уголь­ни­ков, со­став­ляю­щих М., мож­но дой­ти до лю­бо­го из них, пе­ре­хо­дя к смеж­но­му с ним, а от это­го, в свою оче­редь, – к смеж­но­му с ним, и т. д. Эти мно­го­уголь­ни­ки на­зы­ва­ют­ся гра­ня­ми, их сто­ро­ны – рёб­ра­ми, а их вер­ши­ны – вер­ши­на­ми мно­го­гран­ни­ка.

При­ве­дён­ное оп­ре­де­ле­ние М. да­ёт разл. по­ня­тия в за­ви­си­мо­сти от то­го, как оп­ре­де­лить мно­го­уголь­ник. Ес­ли под мно­го­уголь­ни­ком по­ни­мать пло­ские замк­ну­тые ло­ма­ные (хо­тя бы и са­мо­пе­ре­се­каю­щие­ся), то при­хо­дят к 1-му оп­ре­де­ле­нию М. Осн. часть ста­тьи по­строе­на на ос­но­ве 2-го оп­ре­де­ле­ния М., при ко­то­ром его гра­ни яв­ля­ют­ся мно­го­уголь­ни­ка­ми, по­ни­мае­мы­ми как час­ти плос­ко­сти, ог­ра­ни­чен­ные ло­ма­ны­ми. С этой точ­ки зре­ния М. есть по­верх­ность, со­став­лен­ная из мно­го­уголь­ных кус­ков. Ес­ли эта по­верх­ность са­ма се­бя не пе­ре­се­ка­ет, то она есть пол­ная по­верх­ность не­ко­то­ро­го гео­мет­рич. те­ла, ко­то­рое так­же на­зы­ва­ет­ся М.; от­сю­да воз­ни­ка­ет тре­тья точ­ка зре­ния на М. как на гео­мет­рич. те­ла, при­чём до­пус­ка­ет­ся так­же су­ще­ст­во­ва­ние у этих тел «ды­рок», т. е. что эти те­ла не од­но­связ­ны.

М. на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, ес­ли он весь ле­жит по од­ну сто­ро­ну от плос­ко­сти лю­бой его гра­ни; то­гда его гра­ни так­же вы­пук­лы. Вы­пук­лый М. раз­би­ва­ет про­стран­ст­во на две час­ти – внеш­нюю и внут­рен­нюю. Внут­рен­няя его часть есть вы­пук­лое те­ло. Об­рат­но, ес­ли по­верх­ность вы­пук­ло­го те­ла мно­го­гран­ная, то со­от­вет­ст­вую­щий М. – вы­пук­лый.

Важ­ней­ши­ми ут­вер­жде­ния­ми об­щей тео­рии вы­пук­лых М. (рас­смат­ри­вае­мых как по­верх­но­сти) яв­ля­ют­ся сле­дую­щие тео­ре­мы.

Тео­ре­ма Эй­ле­ра (по­лу­че­на Л. Эй­ле­ром, 1758): чис­ло вер­шин $b$ ми­нус чис­ло рё­бер $p$ плюс чис­ло гра­ней $r$ вы­пук­ло­го М. (эй­ле­ро­ва ха­рак­те­ри­сти­ка М.) рав­но двум, т. е. $b-p+r=2$.

Тео­ре­ма Ко­ши (по­лу­че­на О. Ко­ши, 1812): ес­ли 2 вы­пук­лых М. изо­мет­рич­ны друг дру­гу (т. е. один М. мо­жет быть вза­им­но од­но­знач­но ото­бра­жён на дру­гой М. с со­хра­не­ни­ем длин ле­жа­щих на нём ли­ний), то вто­рой М. мо­жет быть по­лу­чен из пер­во­го дви­же­ни­ем его как жё­ст­ко­го це­ло­го (или дви­же­ни­ем и зер­каль­ным от­ра­же­ни­ем). От­сю­да, в ча­ст­но­сти, сле­ду­ет, что ес­ли гра­ни вы­пук­ло­го М. жё­ст­ки, то он сам жёс­ток, хо­тя бы его гра­ни бы­ли скре­п­ле­ны друг с дру­гом по рёб­рам шар­нир­но. Это ут­вер­жде­ние в ка­че­ст­ве ги­по­те­зы вы­ска­зы­ва­лось Евк­ли­дом.

Тео­ре­ма Алек­сан­д­ро­ва (по­лу­че­на А. Д. Алек­сан­д­ро­вым, 1939): ес­ли взять ко­неч­ное чис­ло пло­ских вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ков (сде­лан­ных, напр., из бу­ма­ги) и ука­зать, ка­кая сто­ро­на ка­ко­го из них с ка­кой сто­ро­ной ка­ко­го дру­го­го бу­дет склее­на (склеи­вае­мые сто­ро­ны долж­ны быть оди­на­ко­вой дли­ны), т. е. ес­ли рас­смот­реть раз­вёрт­ку (вы­крой­ку) М., то для то­го, что­бы так скле­ен­ную замк­ну­тую по­верх­ность мож­но бы­ло, со­от­вет­ст­вен­но рас­пра­вив (т. е. изо­гнув, ес­ли нуж­но, но не рас­тя­ги­вая, не сжи­мая, не раз­ры­вая и боль­ше не склеи­вая), пре­вра­тить в по­верх­ность вы­пук­ло­го М., не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы: а) удов­ле­тво­ря­лось ус­ло­вие Эй­ле­ра $b-p+r=2$ и б) что­бы сум­ма пло­ских уг­лов, схо­дя­щих­ся при склеи­ва­нии в од­ной вер­ши­не, для лю­бой вер­ши­ны бы­ла мень­ше 360°. Эта тео­ре­ма яв­ля­ет­ся тео­ре­мой су­ще­ст­во­ва­ния, т. к. она по­ка­зы­ва­ет, для ка­ких раз­вёр­ток су­ще­ст­ву­ют вы­пук­лые М., а тео­ре­ма Ко­ши яв­ля­ет­ся для неё тео­ре­мой един­ст­вен­но­сти, т. к. она по­ка­зы­ва­ет, что су­ще­ст­ву­ет толь­ко один (с точ­но­стью до дви­же­ния и от­ра­же­ния) вы­пук­лый М. с та­кой раз­вёрт­кой.

Тео­ре­ма (су­ще­ст­во­ва­ния) Мин­ков­ско­го (по­лу­че­на Г. Мин­ков­ским, 1896): су­ще­ст­ву­ет вы­пук­лый М. с лю­бы­ми пло­ща­дя­ми гра­ней и лю­бы­ми на­прав­ле­ния­ми внеш­них нор­ма­лей к ним, лишь бы сум­ма век­то­ров, имею­щих на­прав­ле­ния нор­ма­лей и дли­ны, рав­ные пло­ща­дям со­от­вет­ст­вую­щих гра­ней, бы­ла рав­на ну­лю и эти век­то­ры не ле­жа­ли бы все в од­ной плос­ко­сти. Эти ус­ло­вия не­об­хо­ди­мы.

Тео­ре­ма (един­ст­вен­но­сти) Мин­ков­ско­го (1896): вы­пук­лый М. впол­не оп­ре­де­ля­ет­ся пло­ща­дя­ми сво­их гра­ней и на­прав­ле­ния­ми внеш­них нор­ма­лей к ним; эту тео­ре­му уси­ли­ва­ет тео­ре­ма (един­ст­вен­но­сти) А. Д. Алек­сан­д­ро­ва: два вы­пук­лых М. с по­пар­но па­рал­лель­ны­ми гра­ня­ми не рав­ны друг дру­гу толь­ко в том слу­чае, ес­ли для од­ной из пар па­рал­лель­ных гра­ней с оди­на­ко­во на­прав­лен­ны­ми внеш­ни­ми нор­ма­ля­ми од­на из этих гра­ней мо­жет быть при по­мо­щи па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са вло­же­на в дру­гую.

Рис. 1.

Тео­ре­ма Штей­ни­ца (по­лу­че­на нем. ма­те­ма­ти­ком Э. Штей­ни­цем, 1917): су­ще­ст­ву­ет вы­пук­лый М. с лю­бой на­пе­рёд за­дан­ной сет­кой. При этом сет­кой вы­пук­ло­го М. на­зы­ва­ют сет­ку, со­став­лен­ную его рёб­ра­ми. Два М. при­над­ле­жат к од­но­му и то­му же ти­пу, ес­ли то­по­ло­ги­че­ски то­ж­де­ст­вен­ны сет­ки их рё­бер, т. е. ес­ли один из них от­ли­ча­ет­ся от дру­го­го лишь дли­ной сво­их рё­бер и ве­ли­чи­ной уг­лов ме­ж­ду ни­ми. Сет­ку рё­бер вы­пук­ло­го М. мож­но спро­ек­ти­ро­вать на плос­кость из внеш­ней точ­ки, близ­кой к внутр. точ­ке к.-л. его гра­ни. Са­ма эта грань спро­ек­ти­ру­ет­ся то­гда в ви­де вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка, а все ос­таль­ные – в ви­де ма­лых вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ков, ко­то­рые его за­пол­ня­ют, не на­ле­гая друг на дру­га, и смеж­ны друг с дру­гом це­лы­ми сто­ро­на­ми. Тип сет­ки рё­бер М. при та­ком про­ек­ти­ро­ва­нии не ме­ня­ет­ся. Чис­ло $m$ ти­пов М. с дан­ным чис­лом $n$ гра­ней ог­ра­ни­че­но, а имен­но: ес­ли $n=$ 4, 5, 6, 7, 8, ..., то $m=$ 1, 2, 7, 34, 257, ... На рис. 1 да­ны сет­ки всех ти­пов для $n=$ 4, 5, 6.

Наи­бо­лее важ­ны сле­дую­щие спец. вы­пук­лые мно­го­гран­ни­ки.

Правильные многогранники

Рис. 2. Многогранники: правильные выпуклые многогранники (тела Платона) – 1–5; правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо) – 6–9; полуправильные выпуклые многогранники (тела Архимеда) – 10–23; п...

(те­ла Пла­то­на) – вы­пук­лые М., все гра­ни ко­то­рых суть кон­гру­энт­ные (рав­ные) пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки. Все мно­го­гран­ные уг­лы пра­виль­но­го М. пра­виль­ные и рав­ные. Из под­счё­та сум­мы пло­ских уг­лов при вер­ши­не сле­ду­ет, что вы­пук­лых пра­виль­ных М. не боль­ше пя­ти. Су­ще­ст­во­ва­ние имен­но пя­ти пра­виль­ных М. бы­ло до­ка­за­но Евк­ли­дом. Они – пра­виль­ные тет­ра­эдр, куб, ок­та­эдр, до­де­ка­эдр и ико­са­эдр (см. рис. 2, 1–5).

Куб и ок­та­эдр ду­аль­ны, т. е. по­лу­ча­ют­ся друг из дру­га, ес­ли цен­тры тя­же­сти гра­ней од­но­го при­нять за вер­ши­ны дру­го­го или об­рат­но. Ана­ло­гич­но, ду­аль­ны до­де­ка­эдр и ико­са­эдр. Тет­ра­эдр дуа­лен сам се­бе. Пра­виль­ный до­де­ка­эдр по­лу­ча­ет­ся из ку­ба по­строе­ни­ем «крыш» на его гра­нях (спо­соб Евк­ли­да), вер­ши­на­ми тет­ра­эд­ра яв­ля­ют­ся лю­бые 4 вер­ши­ны ку­ба, по­пар­но не смеж­ные по реб­ру. Так из ку­ба по­лу­ча­ют­ся все ос­таль­ные пра­виль­ные мно­го­гран­ни­ки.

Ни­же при­во­дят­ся ра­ди­ус опи­сан­ной сфе­ры, ра­ди­ус впи­сан­ной сфе­ры и объ­ём всех пра­виль­ных М. (а – дли­на реб­ра М.).

Изоэдры и изогоны

Изо­эдром (изо­го­ном) на­зы­ва­ет­ся та­кой вы­пук­лый М., что груп­па его по­во­ро­тов (1-го и 2-го ро­дов, см. Дви­же­ние) во­круг цен­тра тя­же­сти пе­ре­во­дит лю­бую его грань (вер­ши­ну) в лю­бую дру­гую его грань (вер­ши­ну). Ка­ж­до­му изо­эд­ру (изо­го­ну) со­от­вет­ст­ву­ет ду­аль­ный изо­гон (изо­эдр). Ес­ли М. од­но­вре­мен­но и изо­гон и изо­эдр, то он – пра­виль­ный М. Ком­би­на­тор­но разл. изо­эд­ров (изо­го­нов) име­ет­ся 13 спец. ти­пов и две бес­ко­неч­ные се­рии (приз­мы и ан­ти­приз­мы). Ока­зы­ва­ет­ся, что ка­ж­дый из этих изо­эд­ров мо­жет быть реа­ли­зо­ван так, что все его гра­ни суть пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки. По­лу­чен­ные так М. на­зы­ва­ют­ся по­лу­пра­виль­ны­ми (те­ла­ми Ар­хи­ме­да, см. рис. 2, 10–23; приз­мой – 24; ан­ти­приз­мой – 25).

Параллелоэдры

(вы­пук­лые М., най­ден­ные Е. С. Фё­до­ро­вым, 1881) – М., рас­смат­ри­вае­мые как те­ла, па­рал­лель­ны­ми пе­ре­но­са­ми ко­то­рых мож­но за­пол­нить всё бес­ко­неч­ное про­стран­ст­во так, что­бы они не вхо­ди­ли друг в дру­га и не ос­тав­ля­ли пус­тот ме­ж­ду со­бой, т. е. об­ра­зо­вать раз­бие­ние про­стран­ст­ва. Та­ко­вы, напр., куб или пра­виль­ная 6-уголь­ная приз­ма. Су­ще­ст­ву­ет 5 то­по­ло­ги­че­ски разл. се­ток рё­бер па­рал­ле­ло­эд­ров (см. рис. 2, 26–30). Чис­ло их гра­ней – 6, 8, 12, 12, 14. Для то­го что­бы М. был па­рал­ле­лоэ­дром, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы он был вы­пук­лым М. од­но­го из 5 ука­зан­ных то­по­ло­гич. ти­пов и что­бы все гра­ни его име­ли цен­тры сим­мет­рии.

Ес­ли па­рал­ле­ло­эд­ры раз­бие­ния смеж­ны це­лы­ми гра­ня­ми, раз­бие­ние на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным. Цен­тры па­рал­ле­ло­эд­ров та­ко­го раз­бие­ния об­ра­зу­ют ре­шёт­ку, т. е. со­во­куп­ность всех то­чек с це­лы­ми ко­ор­ди­на­та­ми от­но­си­тель­но ка­кой-то (во­об­ще го­во­ря, не пря­мо­уголь­ной) де­кар­то­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат. Мно­же­ст­во то­чек про­стран­ст­ва, из ко­то­рых ка­ж­дая от­сто­ит от не­ко­то­рой дан­ной точ­ки $O$ рас­смат­ри­вае­мой ре­шёт­ки Λ не даль­ше, чем от вся­кой др. точ­ки этой ре­шёт­ки, на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью Во­ро­но­го $D_{OΛ}$ точ­ки $O$ в ре­шёт­ке Λ. Об­ласть $D_{OΛ}$ яв­ля­ет­ся вы­пук­лым М. с цен­тром в точ­ке $O$. Со­во­куп­ность об­лас­тей Во­ро­но­го всех то­чек про­из­воль­ной ре­шёт­ки об­ра­зу­ет нор­маль­ное раз­бие­ние про­стран­ст­ва. Про­из­воль­ное (да­же $n$-мер­ное) нор­маль­ное раз­бие­ние на па­рал­ле­ло­эд­ры, в ка­ж­дой из вер­шин ко­то­ро­го схо­дит­ся $n+1$ па­рал­ле­ло­эдр, мо­жет быть аф­фин­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем пре­вра­ще­но в раз­бие­ние Во­ро­но­го для не­ко­то­рой ре­шёт­ки.

Вся­кое дви­же­ние, пе­ре­во­дя­щее в се­бя ре­шёт­ку Λ и ос­тав­ляю­щее на мес­те точ­ку $O$, пре­об­ра­зу­ет в се­бя об­ласть $D_{OΛ}$ и об­рат­но. Су­ще­ст­ву­ет 7 групп та­ких дви­же­ний: ку­би­че­ская, ром­бо­эд­ри­че­ская, квад­рат­ная (или тет­ра­го­наль­ная), ор­то­го­наль­ная (или ром­би­че­ская), мо­но­клин­ная, трик­лин­ная и гек­са­го­наль­ная.

Кристаллографические многогранники

Ка­ж­дая из 7 рас­смот­рен­ных групп име­ет под­груп­пы, всех разл. та­ких групп и их под­групп 32; их на­зы­ва­ют кри­стал­ло­гра­фич. клас­са­ми. Ес­ли взять плос­кость, не про­хо­дя­щую че­рез точ­ку $O$, и под­верг­нуть её всем по­во­ро­там к.-л. кри­стал­ло­гра­фич. клас­са, то по­лу­чен­ные плос­ко­сти ог­ра­ни­чи­ва­ют ли­бо не­ко­то­рый изо­эдр с цен­тром в точ­ке $O$, ли­бо бес­ко­неч­ное вы­пук­лое приз­ма­тич. те­ло, ли­бо мно­го­гран­ный угол. По­лу­чен­ные те­ла на­зы­ва­ют­ся про­сты­ми фор­ма­ми кри­стал­лов, в 1-м слу­чае замк­ну­ты­ми, во 2-м и 3-м – от­кры­ты­ми. Две про­стые фор­мы счи­та­ют оди­на­ко­вы­ми, ес­ли они име­ют один и тот же ком­би­на­тор­ный тип, по­ро­ж­де­ны од­ним и тем же кри­стал­ло­гра­фич. клас­сом и по­во­ро­ты это­го клас­са оди­на­ко­вым об­ра­зом свя­за­ны с фор­мой. Су­ще­ст­ву­ет 30 разл. в этом смыс­ле замк­ну­тых форм и 17 от­кры­тых, ка­ж­дая из них име­ет своё на­зва­ние.

Ос­но­вы­ва­ясь на пер­вом (ука­зан­ном в на­ча­ле ста­тьи) оп­ре­де­ле­нии М., мож­но ука­зать ещё 4 пра­виль­ных не­вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ка (т. н. те­ла Пу­ан­со, см. рис. 2, 6–9), впер­вые най­ден­ных Л. Пу­ан­со в 1809. До­ка­за­тель­ст­во не­су­ще­ст­во­ва­ния др. не­вы­пук­лых пра­виль­ных М. дал О. Ко­ши в 1811.

Мож­но рас­смат­ри­вать и $n$-мер­ные М., для ко­то­рых вер­ны не­ко­то­рые из ука­зан­ных тео­рем. Ока­зы­ва­ет­ся, что при $n=$ 4 су­ще­ст­ву­ют 6 вы­пук­лых пра­виль­ных М., при боль­ших $n$ их все­го 3: обоб­ще­ние тет­ра­эд­ра, ку­ба и ок­та­эд­ра.