ДВИЖЕ́НИЕ

ДВИЖЕ́НИЕ в гео­мет­рии, пре­об­ра­зо­ва­ние евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, со­хра­няю­щее рас­стоя­ние ме­ж­ду лю­бы­ми дву­мя точ­ка­ми. Д. на­зы­ва­ет­ся соб­ст­вен­ным (Д. 1-го ро­да) или не­соб­ст­вен­ным (Д. 2-го ро­да) в за­ви­си­мо­сти от то­го, со­хра­ня­ет или не со­хра­ня­ет Д. ори­ен­та­цию про­стран­ст­ва. Соб­ст­вен­ное Д. на плос­ко­сти мо­жет быть за­да­но в пря­мо­уголь­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxy$ фор­му­ла­ми $$x'=x \cos \varphi -y \sin \varphi+a,$$ $$y'=x \sin \varphi +y \cos \varphi+b.$$Па­ра­мет­ры $a$ и $b$ ха­рак­те­ри­зу­ют па­рал­лель­ный пе­ре­нос плос­ко­сти на век­тор ($a$, $b$) с ком­по­нен­та­ми $a$ и $b$, а па­ра­метр $\varphi$ – вра­ще­ние плос­ко­сти во­круг на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Соб­ст­вен­ное Д. мо­жет быть пред­став­ле­но как про­из­ве­де­ние (су­пер­по­зи­ция) вра­ще­ния во­круг на­ча­ла ко­ор­ди­нат на угол $\varphi$ и па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са на век­тор ($a$, $b$).

Не­соб­ст­вен­ное Д. на плос­ко­сти мо­жет быть за­да­но в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах $Oxy$ фор­му­ла­ми $$x'=x \cos \varphi -y \sin \varphi+a,$$ $$y'=x \sin \varphi +y \cos \varphi+b.$$  Не­соб­ст­вен­ное Д. есть про­из­ве­де­ние соб­ст­вен­но­го Д. на пре­об­ра­зо­ва­ние сим­мет­рии от­но­си­тель­но не­ко­то­рой пря­мой.

В про­стран­ст­ве (как и на плос­ко­сти) Д. ана­ли­ти­че­ски за­да­ёт­ся ли­ней­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем с ор­то­го­наль­ной мат­ри­цей, оп­ре­де­ли­тель ко­то­рой ра­вен 1 или –1 в за­ви­си­мо­сти от то­го, яв­ля­ет­ся Д. соб­ст­вен­ным или не­соб­ст­вен­ным. Соб­ст­вен­ное Д. есть или вра­ще­ние во­круг оси, или па­рал­лель­ный пе­ре­нос, или мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де про­из­ве­де­ния вра­ще­ния во­круг оси и па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са в на­прав­ле­нии этой оси (вин­то­вое дви­же­ние). Не­соб­ст­вен­ное Д. в про­стран­ст­ве есть ли­бо сим­мет­рия от­но­си­тель­но плос­ко­сти, ли­бо мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де про­из­ве­де­ния сим­мет­рии от­но­си­тель­но плос­ко­сти на вра­ще­ние во­круг оси, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этой плос­ко­сти, ли­бо в ви­де про­из­ве­де­ния сим­мет­рии от­но­си­тель­но плос­ко­сти на пе­ре­нос в на­прав­ле­нии век­то­ра, па­рал­лель­но­го этой плос­ко­сти.

Д. мо­жет быть при­ня­то в ка­че­ст­ве осн. по­ня­тия при ак­сио­ма­тич. по­строе­нии гео­мет­рии. В этом слу­чае вме­сто ак­си­ом кон­гру­энт­но­сти вво­дят­ся ак­сио­мы Д. (фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся кон­гру­энт­ны­ми, ес­ли од­на пе­ре­хо­дит в дру­гую при по­мо­щи не­ко­то­ро­го Д.).