СИММЕ́ТРИ́Я

СИММЕ́ТРИ́Я (лат. symmetria, от греч. συμμετρία – со­раз­мер­ность) в ма­те­ма­ти­ке, 1) С. (в уз­ком смыс­ле), или (зер­каль­ное) от­ра­же­ние от­но­си­тель­но плос­ко­сти α в про­стран­ст­ве (от­но­си­тель­но пря­мой α на плос­ко­сти), – пре­об­ра­зо­ва­ние про­стран­ст­ва (плос­ко­сти), при ко­то­ром ка­ж­дая точ­ка M пе­ре­хо­дит в точ­ку M´ та­кую, что от­ре­зок MM´ пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти (пря­мой) α и де­лит­ся ею по­по­лам. Плос­кость (пря­мая) α на­зы­ва­ет­ся плос­ко­стью (осью) С. (рис. 1).

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5.

2) C. (в ши­ро­ком смыс­ле) – свой­ст­во гео­мет­рич. фи­гу­ры Φ со­вме­щать­ся с со­бой при дей­ст­вии не­ко­то­рой груп­пы G (см. Групп тео­рия) ор­то­го­наль­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, на­зы­вае­мой груп­пой сим­мет­рии Φ. При этом пре­об­ра­зо­ва­ние A евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва на­зы­ва­ет­ся ор­то­го­наль­ным, ес­ли оно со­хра­ня­ет ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние лю­бых век­то­ров x, y, т. е. (Ax,Ay)=(x,y). Ор­то­го­наль­ные пре­об­ра­зо­ва­ния и толь­ко они со­хра­ня­ют дли­ны век­то­ров и уг­лы ме­ж­ду ни­ми. Та­ким об­ра­зом, С. от­ра­жа­ет не­ко­то­рую пра­виль­ность фор­мы фи­гу­ры, её ин­ва­ри­ант­ность при дей­ст­вии пре­об­ра­зо­ва­ний из G. Напр., ес­ли фи­гу­ра Φ на плос­ко­сти та­ко­ва, что по­во­ро­ты от­но­си­тель­но не­ко­то­рой точ­ки O на угол 360°/n, n⩾2 – це­лое, пе­ре­во­дят её в се­бя, то го­во­рят, что Φ об­ла­да­ет С. n-го по­ряд­ка, а O на­зы­ва­ют цен­тром сим­мет­рии n-го по­ряд­ка (рис. 2). Ок­руж­ность об­ла­да­ет С. бес­ко­неч­но­го по­ряд­ка, по­сколь­ку со­вме­ща­ет­ся с со­бой при по­во­ро­те во­круг цен­тра на лю­бой угол.

Про­стей­ши­ми ви­да­ми про­стран­ст­вен­ной С., по­ми­мо С., по­ро­ж­дён­ной от­ра­же­ния­ми, яв­ля­ют­ся:

а) С. по­ряд­ка n от­но­си­тель­но пря­мой; в этом слу­чае фи­гу­ра со­вме­ща­ет­ся с со­бой вра­ще­ни­ем во­круг не­ко­то­рой пря­мой (оси С.) на угол 360°/n. Напр., плоская фи­гу­ра в про­стран­ст­ве, сим­мет­рич­ная от­но­си­тель­но не­ко­то­рой пря­мой, име­ет в про­стран­ст­ве эту пря­мую осью С. 2-го по­ряд­ка. Для ку­ба (рис. 3) пря­мая AB яв­ля­ет­ся осью С. 3-го по­ряд­ка, а пря­мая CD – осью С. 4-го по­ряд­ка; во­об­ще, пра­виль­ные и по­лу­пра­виль­ные мно­го­гран­ни­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но ря­да пря­мых.

б) С. пе­ре­но­са; в этом слу­чае фи­гу­ра со­вме­ща­ет­ся с со­бой пе­ре­но­сом вдоль не­ко­то­рой пря­мой (оси пе­ре­но­са) на не­ко­то­рый от­ре­зок. Фи­гу­ра с од­ной осью пе­ре­но­са об­ла­да­ет бес­ко­неч­ным мно­же­ст­вом плос­ко­стей С., пер­пен­ди­ку­ляр­ных оси пе­ре­но­са, по­сколь­ку лю­бой пе­ре­нос мож­но осу­ще­ст­вить дву­мя по­сле­до­ва­тель­ны­ми от­ра­же­ния­ми (рис. 4). Фи­гу­ры, имею­щие неск. осей пе­ре­но­са, иг­ра­ют важ­ную роль при ис­сле­до­ва­нии кри­стал­лич. ре­шё­ток.

Ком­би­на­ции С., по­ро­ж­дён­ные от­ра­же­ния­ми и вра­ще­ния­ми (ис­чер­пы­ваю­щие про­стей­шие ви­ды С. ко­неч­ных фи­гур), а так­же пе­ре­но­са­ми, пред­став­ля­ют ин­те­рес и яв­ля­ют­ся пред­ме­том ис­сле­до­ва­ния в разл. об­лас­тях ес­те­ст­во­зна­ния, ис­кус­ст­ва и т. д. Напр., вин­то­вая С., по­ро­ж­дён­ная по­во­ро­том на не­ко­то­рый угол во­круг оси и пе­ре­но­сом вдоль той же оси, на­блю­да­ет­ся в рас­по­ло­же­нии ли­сть­ев у рас­те­ний (рис. 5).