СИММЕ́ТРИ́Я
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СИММЕ́ТРИ́Я (лат. symmetria, от греч. συμμετρία – соразмерность) в математике, 1) С. (в узком смысле), или (зеркальное) отражение относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой α на плоскости), – преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в точку M´ такую, что отрезок MM´ перпендикулярен плоскости (прямой) α и делится ею пополам. Плоскость (прямая) α называется плоскостью (осью) С. (рис. 1).
2) C. (в широком смысле) – свойство геометрич. фигуры Φ совмещаться с собой при действии некоторой группы G (см. Групп теория) ортогональных преобразований, называемой группой симметрии Φ. При этом преобразование A евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение любых векторов x, y, т. е. (Ax,Ay)=(x,y). Ортогональные преобразования и только они сохраняют длины векторов и углы между ними. Таким образом, С. отражает некоторую правильность формы фигуры, её инвариантность при действии преобразований из G. Напр., если фигура Φ на плоскости такова, что повороты относительно некоторой точки O на угол 360°/n, n⩾2 – целое, переводят её в себя, то говорят, что Φ обладает С. n-го порядка, а O называют центром симметрии n-го порядка (рис. 2). Окружность обладает С. бесконечного порядка, поскольку совмещается с собой при повороте вокруг центра на любой угол.
Простейшими видами пространственной С., помимо С., порождённой отражениями, являются:
а) С. порядка n относительно прямой; в этом случае фигура совмещается с собой вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/n. Напр., плоская фигура в пространстве, симметричная относительно некоторой прямой, имеет в пространстве эту прямую осью С. 2-го порядка. Для куба (рис. 3) прямая AB является осью С. 3-го порядка, а прямая CD – осью С. 4-го порядка; вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых.
б) С. переноса; в этом случае фигура совмещается с собой переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на некоторый отрезок. Фигура с одной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С., перпендикулярных оси переноса, поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями (рис. 4). Фигуры, имеющие неск. осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллич. решёток.
Комбинации С., порождённые отражениями и вращениями (исчерпывающие простейшие виды С. конечных фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в разл. областях естествознания, искусства и т. д. Напр., винтовая С., порождённая поворотом на некоторый угол вокруг оси и переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 5).