ДОКАЗА́ТЕЛЬСТВО

ДОКАЗА́ТЕЛЬСТВО, спо­соб обос­но­ва­ния ис­тин­но­сти ут­вер­жде­ния или сис­те­мы ут­вер­жде­ний пу­тём их ло­гич. вы­во­да из др. ис­тин­ных, до­ка­зан­ных или обос­но­ван­ных ут­вер­жде­ний. Ес­ли в тео­ре­тич. Д. для это­го при­ме­ня­ют­ся толь­ко ис­тин­ные по­сыл­ки, то в прак­тич. Д. до­пус­ка­ет­ся упот­реб­ле­ние др. ар­гу­мен­тов: в опыт­ных нау­ках – дан­ных на­блю­де­ний и экс­пе­ри­мен­тов, в пра­во­су­дии – по­ка­за­ний оче­вид­цев и ве­ще­ст­вен­ных до­ка­за­тельств и т. д.

В Д. обыч­но вы­де­ля­ют: 1) по­сыл­ки, ар­гу­мен­ты или до­во­ды, слу­жа­щие ос­но­ва­ни­ем Д.; 2) пра­ви­ла де­дук­ции, или ло­гич. вы­во­да, с по­мо­щью ко­то­рых про­ис­хо­дит де­мон­ст­ра­ция те­зи­са, т. е. пе­ре­нос ис­тин­но­сти по­сы­лок на за­клю­че­ние; 3) те­зис. Клас­си­фи­ка­ция Д. мо­жет про­во­дить­ся по раз­ным ос­но­ва­ни­ям: по це­ли Д. раз­ли­ча­ют тео­ре­тич. и прак­тич. Д.; по спо­со­бу де­мон­ст­ра­ции те­зи­са – пря­мые и кос­вен­ные. В пря­мых Д. его те­зис не­по­сред­ст­вен­но вы­во­дит­ся из по­сы­лок, в кос­вен­ных – пу­тём оп­ро­вер­же­ния ан­ти­те­зи­са; по ис­поль­зуе­мым ло­гич. за­ко­нам и сред­ст­вам Д. вы­де­ля­ют кон­ст­рук­тив­ные и не­кон­ст­рук­тив­ные, эф­фек­тив­ные и не­эф­фек­тив­ные. В кон­ст­рук­тив­ных Д. не ис­поль­зу­ет­ся ис­клю­чён­но­го третье­го за­кон, в не­эф­фек­тив­ных Д. су­ще­ст­во­ва­ние объ­ек­та обос­но­вы­ва­ет­ся Д. его не­про­ти­во­ре­чи­во­сти.

Ис­то­ри­че­ски пер­вы­ми бы­ли Д., опи­раю­щие­ся на не­по­средств. су­ж­де­ния опы­та (фак­ты, дан­ные на­блю­де­ний, прак­ти­ки). Де­дук­тив­ные Д. впер­вые ста­ли ис­поль­зо­вать­ся в ма­те­ма­ти­ке, где опе­ри­ру­ют аб­ст­ракт­ны­ми объ­ек­та­ми. Од­на­ко не­ко­то­рые ут­вер­жде­ния в рам­ках оп­ре­де­лён­ной тео­рии при­ни­ма­ют­ся без Д. Та­кие ут­вер­жде­ния на­зы­ва­ют­ся ак­сио­ма­ми или по­сту­ла­та­ми. Ак­сио­ма­ти­че­ский ме­тод да­ёт воз­мож­ность сис­те­ма­ти­зи­ро­вать Д. в ви­де це­поч­ки ло­гич. вы­во­дов, в ко­то­рой ка­ж­дое за­клю­че­ние яв­ля­ет­ся ли­бо ак­сио­мой, ли­бо сле­ду­ет из них по пра­ви­лам де­дук­ции. По­след­нее за­клю­че­ние в этой це­поч­ке яв­ля­ет­ся до­ка­за­тель­ст­вом.

Тен­ден­ция к стро­го­сти Д. в ма­те­ма­ти­ке, воз­ник­шая в свя­зи с ана­ли­зом её ос­но­ва­ний в ра­бо­тах Д. Гиль­бер­та и др., при­ве­ла к уже­сто­че­нию тре­бо­ва­ний к стро­го­сти Д. С этой це­лью при Д. не толь­ко пе­ре­чис­ля­ют все ак­сио­мы тео­рии, но и точ­но фор­му­ли­ру­ют пра­ви­ла вы­во­да тео­рем из ак­си­ом. Даль­ней­ший шаг в фор­ма­ли­за­ции Д. со­сто­ит в от­вле­че­нии от кон­крет­но­го со­дер­жа­ния ут­вер­жде­ний, фи­гу­ри­рую­щих в Д., и пред­став­ле­нии их в ви­де фор­мул оп­ре­де­лён­но­го сим­во­лич. язы­ка. Не­ко­то­рые фор­му­лы за­тем вы­би­ра­ют­ся в ка­че­ст­ве ак­си­ом, а оп­ре­де­лён­ные пре­об­ра­зо­ва­ния – как пра­ви­ла вы­во­да. Т. о., со­дер­жат. Д. пре­вра­ща­ет­ся в фор­маль­ное Д., од­на­ко со­дер­жат. ана­лиз Д. про­дол­жа­ет со­хра­нять при­ори­тет над фор­маль­ным. Свой­ст­ва са­мой фор­маль­ной сис­те­мы опи­сы­ва­ют­ся на ме­та­язы­ке, со­став­ляю­щем часть ес­теств. язы­ка, а в ме­та­те­о­рии ис­поль­зу­ют­ся толь­ко кон­крет­ные, со­дер­жат. спо­со­бы рас­су­ж­де­ний. Кро­ме то­го, да­же та­кая срав­ни­тель­но про­стая со­дер­жат. тео­рия, как ариф­ме­ти­ка це­лых чи­сел, не мо­жет быть пол­но­стью фор­ма­ли­зо­ва­на (как это бы­ло до­ка­за­но К. Гёде­лем в 1931). Лю­бое ис­тин­ное Д. за­ви­сит от обос­но­ван­но­сти сво­их ар­гу­мен­тов и пра­вил ло­гич. вы­во­да, ко­то­рые не ос­та­ют­ся не­из­мен­ны­ми, а уточ­ня­ют­ся и из­ме­ня­ют­ся с раз­ви­ти­ем нау­ки и об­ществ. прак­ти­ки. По­это­му не су­ще­ст­ву­ет ни­ка­ко­го по­ня­тия аб­со­лют­но­го Д., год­но­го для всех вре­мён и всех сфер по­зна­ват. и прак­тич. дея­тель­но­сти.