НЕГОЛОНО́МНЫЕ СИСТЕ́МЫ

НЕГОЛОНО́МНЫЕ СИСТЕ́МЫ, ме­ха­нич. сис­те­мы, на ко­то­рые кро­ме гео­мет­ри­че­ских (го­ло­ном­ных) свя­зей на­ло­же­ны ки­не­ма­тич. свя­зи, не сво­дя­щие­ся к гео­мет­ри­че­ским и на­зы­вае­мые не­го­ло­ном­ны­ми (см. Свя­зи ме­ха­ни­че­ские). Эти диф­фе­рен­ци­аль­ные не­ин­тег­ри­руе­мые свя­зи на­кла­ды­ва­ют ог­ра­ни­че­ния на ско­ро­сти $\boldsymbol v$ то­чек сис­те­мы (но не на поло­же­ния то­чек в про­стран­ст­ве) и ана­ли­ти­че­ски пред­став­ля­ют­ся в фор­ме со­от­но­ше­ний:$$\sum _{j=1}^N \boldsymbol{a}_{ij}\boldsymbol{v}_j +a_i=0\;\;(i=1,\: \dots,\: s).$$

Здесь век­то­ры $\boldsymbol{a}_{ij}$ и ска­ля­ры $a_i$ – за­дан­ные функ­ции вре­ме­ни $t$ и ра­ди­ус-век­то­ров $\boldsymbol{r}_1,\;\dots,\; \boldsymbol{r}_N\; N$ то­чек сис­те­мы от­но­си­тель­но не­ко­то­рой не­под­виж­ной де­кар­то­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат, $\boldsymbol{v}_i=\dot{\boldsymbol{r}_i},\; s$ – чис­ло не­го­ло­ном­ных свя­зей. Прин­ци­пи­аль­ным от­ли­чи­ем Н. с. от го­ло­ном­ных сис­тем яв­ля­ет­ся то, что при­ве­дён­ные со­от­но­ше­ния не мо­гут быть вы­ра­же­ны в фор­ме ко­неч­ных со­от­но­ше­ний ви­да $f_i(x_1,\;\dots,\; x_{3N})= 0\; (i=1,\;\dots,\; s)$. В обоб­щён­ных ко­ор­ди­на­тах $q_𝑘$ и ско­ро­стях $\dot{q_k}\;(𝑘= 1,\;\dots,\; n)$ урав­не­ния не­го­ло­ном­ных свя­зей при­ни­ма­ют вид:$$\sum_{k=1}^{N}b_{ik}(q_k,t)\dot{q_k}+b_i(q_k,t)=0\;(i=1,\;\dots,\;s).$$

Здесь $b_{ik}(q_k,\: t)$ и $b_i(q_k,\: t)$ – за­дан­ные функ­ции вре­ме­ни и обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат, $n$ – чис­ло не­за­ви­си­мых обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат, ко­то­ры­ми ха­рак­те­ри­зу­ет­ся ме­ха­нич. сис­те­ма. Чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды Н. с. рав­но $n-s$.

При­ме­ра­ми Н. с. мо­гут слу­жить шар или ко­ле­со, ка­тя­щие­ся без про­скаль­зы­ва­ния по ше­ро­хо­ва­той по­верх­но­сти. В этих слу­ча­ях на сис­те­му на­ла­га­ют­ся как гео­мет­рич. связь (оп­ре­де­ляю­щая по­ло­же­ние цен­тра ша­ра или ко­ле­са), так и ки­не­ма­тич. связь, вы­ра­жаю­щая тот факт, что ско­рость точ­ки ка­са­ния ша­ра или ко­ле­са с по­верх­но­стью рав­на ну­лю.

По­ня­тия го­ло­ном­ных и не­го­ло­ном­ных сис­тем ввёл в ме­ха­ни­ку Ген­рих Герц (1894). К Н. с. (в от­ли­чие от го­ло­ном­ных сис­тем) не­при­ме­ни­мы Ла­гран­жа урав­не­ния 2-го ро­да, а так­же Га­миль­то­на урав­не­ния. Изу­че­ние дви­же­ния Н. с. про­во­дят с ис­поль­зо­ва­ни­ем др. диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний: урав­не­ния Ла­гран­жа 1-го ро­да, урав­не­ния Ап­пе­ля, урав­не­ния Ча­п­лы­ги­на и Во­рон­ца в обоб­щён­ных ко­ор­ди­на­тах, урав­не­ния Больц­ма­на – Га­ме­ля в ква­зи­ко­ор­ди­на­тах и др. (не­ко­то­рые из этих урав­не­ний бы­ли выве­де­ны спе­ци­аль­но для ис­сле­до­ва­ния Н. с.). В чис­ло диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний дви­же­ния Н. с. в об­щем слу­чае вхо­дят так­же урав­не­ния свя­зей.