ДИНА́МИКА КРИСТАЛЛИ́ЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ

ДИНА́МИКА КРИСТАЛЛИ́ЧЕСКОЙ РЕ­ШЁТ­КИ, раз­дел фи­зи­ки твёр­до­го те­ла, в ко­то­ром ме­то­да­ми клас­сич. и кван­то­вой ме­ха­ни­ки изу­ча­ют­ся дви­же­ния об­ра­зую­щих кри­сталл ато­мов (ио­нов, мо­ле­кул) и связь этих дви­же­ний с фи­зич. свой­ст­ва­ми кри­стал­ла. Ди­на­мич. тео­рия кри­стал­лич. ре­шёт­ки раз­ра­бо­та­на в нач. 20 в. В 1907 А. Эйн­штейн с по­мо­щью мо­де­ли кри­стал­ла как со­во­куп­но­сти кван­то­вых гар­мо­нич. ос­цил­ля­то­ров оди­на­ко­вой час­то­ты объ­яс­нил на­блю­дае­мое умень­ше­ние те­п­ло­ём­ко­сти твёр­до­го те­ла при умень­ше­нии темп-ры. Бо­лее со­вер­шен­ная ди­на­мич. тео­рия кри­стал­лич. ре­шёт­ки как со­во­куп­но­сти кван­то­вых ос­цил­ля­то­ров разл. час­тот бы­ла по­строе­на П. Де­ба­ем (1912), М. Бор­ном и М. Лауэ (1913–15).

Дви­же­ния ато­мов в кри­стал­ле обыч­но пред­став­ля­ют со­бой ма­лые ко­ле­ба­ния ато­мов око­ло сво­их по­ло­же­ний рав­но­ве­сия – уз­лов кри­стал­лич. ре­шёт­ки. Ве­ли­чи­на и на­прав­ле­ние сме­ще­ния ка­ж­до­го из ато­мов от­но­си­тель­но сво­его уз­ла ре­шёт­ки ме­ня­ют­ся в про­цес­се этих ко­ле­ба­ний слож­ным об­ра­зом, по­сколь­ку сме­ще­ния всех ато­мов свя­за­ны ме­ж­ду со­бой из-за на­ли­чия меж­атом­ных взаи­мо­дей­ст­вий, т. е. яв­ля­ют­ся кол­лек­тив­ны­ми. Од­на­ко пе­рио­дич­ность кри­стал­лич. ре­шёт­ки и ма­лая ве­ли­чи­на сме­ще­ний по­зво­ля­ют дос­та­точ­но про­сто опи­сать имен­но кол­лек­тив­ные дви­же­ния ато­мов, что де­мон­ст­ри­ру­ют да­же силь­но уп­ро­щён­ные мо­де­ли кри­стал­ла. В та­ких мо­де­лях пред­по­ла­га­ет­ся, что сме­ще­ния ато­мов мо­гут про­ис­хо­дить лишь в од­ном на­прав­ле­нии; ато­мы пред­став­ля­ют­ся в ви­де час­тиц (ша­ри­ков), рас­по­ло­жен­ных в уз­лах кри­стал­лич. ре­шёт­ки и свя­зан­ных ме­ж­ду со­бой уп­ру­ги­ми пру­жин­ка­ми, ко­то­рые стре­мят­ся удер­жи­вать час­ти­цы в по­ло­же­ни­ях рав­но­ве­сия.

При ма­лых сме­ще­ни­ях удер­жи­ваю­щие си­лы мож­но счи­тать про­пор­цио­наль­ны­ми сме­ще­ни­ям, что на­зы­ва­ют гар­мо­нич. при­бли­же­ни­ем, в ко­то­ром урав­не­ния дви­же­ния час­тиц яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми и в клас­сич. ме­ха­ни­ке име­ют вид: $$m\ddot u(\boldsymbol n)=–\sum_{n'} α(\boldsymbol n- \boldsymbol n')u(\boldsymbol n')\quad(1)$$ где $\boldsymbol n$, $\boldsymbol n'$ – ра­ди­ус-век­то­ры уз­лов кри­стал­лич. ре­шёт­ки, $u(\boldsymbol n)$ – сме­ще­ние час­ти­цы от­но­си­тель­но сво­его уз­ла, $m$ – мас­са час­ти­цы, $α(\boldsymbol n-\boldsymbol n')$ – жё­ст­ко­сти пру­жи­нок, со­еди­няю­щих час­ти­цы, от­но­ся­щие­ся к уз­лам с ра­ди­ус-век­то­ра­ми $\boldsymbol n$ и $\boldsymbol n'$ (ве­ли­чи­ны $α$ об­ра­зу­ют мат­ри­цу уп­ру­гих ко­эф­фи­ци­ен­тов, или ди­на­мич. мат­ри­цу кри­стал­ла; см. Мо­ду­ли уп­ру­го­сти).

В гар­мо­нич. при­бли­же­нии лю­бое дви­же­ние ато­мов мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де су­пер­по­зи­ции нор­маль­ных ко­ле­ба­ний (мод), ко­то­рым от­ве­ча­ют не­за­ви­си­мые ре­ше­ния урав­не­ний дви­же­ния (1), имею­щие вид бе­гу­щих (или стоя­чих) пло­ских волн ти­па $$u(n)=u_s\sin[kn-w_s(k)t],\tag2$$где $u_s$ ха­рак­те­ри­зу­ет на­прав­ле­ние дви­же­ния ато­ма и за­ви­сит от ти­па ато­ма (в ре­аль­ном слу­чае яв­ля­ет­ся век­то­ром), $\boldsymbol k$ – т. н. ква­зи­вол­но­вой век­тор, на­прав­ле­ние ко­то­ро­го оп­ре­де­ля­ет на­прав­ле­ние рас­про­стра­не­ния бе­гу­щей вол­ны ($\boldsymbol k= 2π/λ$, где $λ$ – дли­на вол­ны, ми­ним. зна­че­ние ко­то­рой мо­жет быть вы­бра­но рав­ным или близ­ким к наи­мень­ше­му пе­рио­ду кри­стал­лич. ре­шёт­ки $a$), $ω_s$ – час­то­та, $t$ – вре­мя.

Нор­маль­ные ко­ле­ба­ния раз­ли­ча­ют­ся ква­зи­вол­но­вы­ми век­то­ра­ми, при­ни­маю­щи­ми дис­крет­ные зна­че­ния (в ча­ст­но­сти, точ­ка $\boldsymbol k=0$ от­ве­ча­ет од­но­род­ным сме­ще­ни­ям), чис­ло ко­то­рых рав­но чис­лу эле­мен­тар­ных яче­ек в кри­стал­ле за­дан­но­го объ­ё­ма. В то же вре­мя ка­ж­до­му ква­зи­вол­но­во­му век­то­ру от­ве­ча­ет $3ν$ мод ($ν$ – чис­ло ато­мов в эле­мен­тар­ной ячей­ке кри­стал­ла, мно­жи­тель 3 от­ра­жа­ет воз­мож­ность ка­ж­до­го ато­ма не­за­ви­си­мо сме­щать­ся в лю­бом из трёх на­прав­ле­ний в про­стран­ст­ве). Т. о., чис­ло мод рав­но чис­лу сте­пе­ней сво­бо­ды кри­стал­ла.

Схема длинноволновых колебаний одномерного кристалла: А – акустические колебания; Б – оптические колебания.

Для ка­ж­до­го $s\,(s= 1, 2, ..., 3ν)$ су­ще­ст­ву­ет своя (дис­пер­си­он­ная) за­ви­си­мость $ω_s(\boldsymbol k)$, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет со­от­вет­ст­вую­щую ветвь ко­ле­ба­ний. В про­стой кри­стал­лич. ре­шёт­ке $(ν=1)$ су­ще­ст­ву­ют толь­ко три вет­ви ко­ле­ба­ний, ко­то­рые на­зы­ва­ют аку­сти­че­ски­ми. При ма­лых вол­но­вых век­то­рах (т. е. при $λ$ мно­го бо́ль­ших раз­ме­ров эле­мен­тар­ной ячей­ки $a_i$) ка­ж­дая из них име­ет ли­ней­ный за­кон дис­пер­сии ($ω_s=c_s k, c_s$ по­ряд­ка 10⁵ см·с^–1) для лю­бо­го на­прав­ле­ния. Та­кие же ко­ле­ба­ния воз­ни­ка­ют при рас­про­стра­не­нии зву­ка в кри­стал­лах. В слож­ной кри­стал­лич. ре­шёт­ке ($ν>1$) су­ще­ст­ву­ют так­же и др. вет­ви ко­ле­ба­ний, на­зы­вае­мые оп­ти­че­ски­ми; они име­ют час­то­ты по­ряд­ка 10¹³ с^–1 при лю­бых вол­но­вых век­то­рах. В от­ли­чие от длин­но­вол­но­вых аку­стич. ко­ле­ба­ний, при ко­то­рых все ато­мы элемен­тар­ной ячей­ки (и центр масс) дви­жут­ся вме­сте (рис. А), оп­тич. ко­ле­ба­ния ха­рак­те­ри­зу­ют­ся тем, что при $λ≫a$ ато­мы дви­жут­ся от­но­си­тель­но цен­тра масс эле­мен­тар­ной ячей­ки, ко­то­рый сам не сме­ща­ет­ся (рис. Б). В ион­ных кри­стал­лах эле­мен­тар­ные ячей­ки со­дер­жат ио­ны про­ти­во­по­лож­ных зна­ков, и та­кие мо­ды при­во­дят к ре­зо­нанс­но­му по­гло­ще­нию све­то­вой вол­ны в ИК об­лас­ти час­тот, в свя­зи с чем они и на­зва­ны оп­ти­че­ски­ми.

Од­ной из важ­ных ха­рак­те­ри­стик спек­тра ко­ле­ба­ний кри­стал­ла, ко­то­рая ис­поль­зу­ет­ся при рас­чё­те его свойств, яв­ля­ет­ся функ­ция плот­но­сти со­стоя­ний $g(ω)$, ко­то­рая рав­на чис­лу нор­маль­ных мод на еди­ни­цу ин­тер­ва­ла час­тот. При низ­ких час­то­тах она оп­ре­де­ля­ет­ся рас­пре­де­ле­ни­ем аку­стич. мод и про­пор­цио­наль­на $ω^2$, а при не­ко­то­рых вы­со­ких час­то­тах (в ча­ст­но­сти, при макс. час­то­те $ω_{макс}$) её про­из­вод­ная по час­то­те обращается в бесконечность. 

Ин­тен­сив­ность те­п­ло­вых ко­ле­ба­ний за­ви­сит от темп-ры кри­стал­ла. Для ха­рак­те­ри­сти­ки этой за­ви­си­мо­сти и оцен­ки вкла­да ко­ле­ба­ний кри­стал­ла в разл. фи­зич. яв­ле­ния час­то вво­дят Де­бая тем­пе­ра­ту­ру $θ_D$. При вы­со­ких темп-рах кри­стал­ла $T≫θ_D$ сред­няя энер­гия ка­ж­дой мо­ды рав­на $kT$ ($k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на), а сред­ний квад­рат сме­ще­ния лю­бо­го ато­ма $〈u^2〉$ про­пор­цио­на­лен темп-ре $T$.

При низ­ких темп-рах ($T≪θ_D$) та­кую энер­гию име­ют толь­ко аку­стич. длин­но­вол­но­вые мо­ды, а энер­гии ос­таль­ных мод ни­чтож­но ма­лы, что су­ще­ст­вен­но умень­ша­ет ве­ли­чи­ну $〈u^2〉$.

При кван­то­вом опи­са­нии Д. к. р. ка­ж­до­му нор­маль­но­му ко­ле­ба­нию с век­то­ром $\boldsymbol k$ и час­то­той $ω$ со­от­вет­ст­ву­ет ква­зи­ча­сти­ца с ква­зи­им­пуль­сом $\hbar \boldsymbol k$ ($\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка) и энер­ги­ей $E=\hbar ω$. Эта ква­зи­ча­сти­ца на­зы­ва­ет­ся фо­но­ном и яв­ля­ет­ся эле­мен­тар­ным воз­бу­ж­де­ни­ем (кван­том) в кри­стал­лич. ре­шёт­ке. Т. о., ко­ле­ба­ния ре­шёт­ки рас­смат­ри­ва­ют как газ фо­но­нов, что по­зво­ля­ет вы­чис­лять разл. свой­ст­ва кри­стал­ла ме­то­да­ми ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки, раз­ви­ты­ми для га­зов. В гар­мо­нич. при­бли­же­нии фо­но­ны не взаи­мо­дей­ст­ву­ют друг с дру­гом и, напр., решё­точ­ная те­п­ло­ём­кость вы­чис­ля­ет­ся обыч­но как те­п­ло­ём­кость иде­аль­но­го га­за фо­но­нов при лю­бых темп-рах. В ме­тал­лах при вы­со­ких темп-рах рас­сея­ние элек­тро­нов на фо­но­нах да­ёт осн. вклад в элек­трич. со­про­тив­ле­ние.

В дей­ст­ви­тель­но­сти ко­ле­ба­ния кри­стал­ла не яв­ля­ют­ся гар­мо­ни­че­ски­ми, что от­ра­жа­ет­ся вве­де­ни­ем в урав­не­ние (1) не­ли­ней­ных по сме­ще­ни­ям сла­гае­мых. Это при­во­дит к то­му, что нор­маль­ные ко­ле­ба­ния ока­зы­ва­ют­ся свя­зан­ны­ми друг с дру­гом, а зна­чит, фо­но­ны взаи­мо­дей­ст­ву­ют ме­ж­ду со­бой, т. е. об­ра­зу­ют не­иде­аль­ный газ. Та­кие взаи­мо­дей­ст­вия яв­ля­ют­ся при­чи­ной це­ло­го ря­да эф­фек­тов. К ним от­но­сят­ся, напр., те­п­ло­вое рас­ши­ре­ние кри­стал­лов, тем­пе­ра­тур­ная за­ви­си­мость час­тот нор­маль­ных мод, ко­неч­ное вре­мя жиз­ни фо­но­нов, те­п­ло­про­вод­ность. Од­ним из яр­ких про­яв­ле­ний ди­на­мич. не­ли­ней­но­сти яв­ля­ют­ся фа­зовые пе­ре­хо­ды в кри­стал­лах (напр., сег­не­то­элек­три­ках) с т. н. мяг­кой мо­дой. В та­ких кри­стал­лах час­то­та не­ко­то­ро­го оп­тич. фо­но­на (мяг­кой мо­ды) стре­мит­ся к ну­лю при по­ни­же­нии темп-ры, что при­во­дит к не­ус­той­чи­во­сти и пе­ре­строй­ке струк­ту­ры кри­стал­лич. ре­шёт­ки.

Су­ще­ст­вен­ное влия­ние на ди­на­ми­ку кри­стал­лич. ре­шёт­ки мо­гут ока­зы­вать разл. де­фек­ты, ко­то­рые все­гда су­ще­ст­ву­ют в ре­аль­ных кри­стал­лах (см. Де­фек­ты в кри­стал­лах). Ко­ле­ба­ния кри­стал­лов с де­фек­та­ми уже нель­зя пред­став­лять в ви­де со­во­куп­но­сти пло­ских волн ти­па (2). Напр., при за­ме­ще­нии к.-л. ато­мов кри­стал­лич. ре­шёт­ки ато­ма­ми др. ти­па (то­чеч­ные де­фек­ты) мо­гут по­яв­лять­ся ло­каль­ные ко­ле­ба­ния, имею­щие дис­крет­ные час­то­ты, от­лич­ные от час­тот нор­маль­ных мод иде­аль­но­го кри­стал­ла (напр., бóльшие, чем $ω_{макс}$). Ам­пли­ту­да та­ких ко­ле­ба­ний рез­ко убы­ва­ет при уда­ле­нии от де­фек­та. Вбли­зи дис­ло­ка­ции (ли­ней­но­го де­фек­та) или плос­ко­го де­фек­та упа­ков­ки так­же мо­гут по­яв­лять­ся ко­ле­ба­ния, не про­ни­каю­щие в объ­ём и от­ли­чаю­щие­ся за­ко­ном дис­пер­сии. К та­ким ко­ле­ба­ни­ям от­но­сят­ся и зву­ко­вые ко­ле­ба­ния у сво­бод­ной по­верх­но­сти (вол­ны Рэ­лея).