ДИНА́МИКА КРИСТАЛЛИ́ЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ДИНА́МИКА КРИСТАЛЛИ́ЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ, раздел физики твёрдого тела, в котором методами классич. и квантовой механики изучаются движения образующих кристалл атомов (ионов, молекул) и связь этих движений с физич. свойствами кристалла. Динамич. теория кристаллич. решётки разработана в нач. 20 в. В 1907 А. Эйнштейн с помощью модели кристалла как совокупности квантовых гармонич. осцилляторов одинаковой частоты объяснил наблюдаемое уменьшение теплоёмкости твёрдого тела при уменьшении темп-ры. Более совершенная динамич. теория кристаллич. решётки как совокупности квантовых осцилляторов разл. частот была построена П. Дебаем (1912), М. Борном и М. Лауэ (1913–15).
Движения атомов в кристалле обычно представляют собой малые колебания атомов около своих положений равновесия – узлов кристаллич. решётки. Величина и направление смещения каждого из атомов относительно своего узла решётки меняются в процессе этих колебаний сложным образом, поскольку смещения всех атомов связаны между собой из-за наличия межатомных взаимодействий, т. е. являются коллективными. Однако периодичность кристаллич. решётки и малая величина смещений позволяют достаточно просто описать именно коллективные движения атомов, что демонстрируют даже сильно упрощённые модели кристалла. В таких моделях предполагается, что смещения атомов могут происходить лишь в одном направлении; атомы представляются в виде частиц (шариков), расположенных в узлах кристаллич. решётки и связанных между собой упругими пружинками, которые стремятся удерживать частицы в положениях равновесия.
При малых смещениях удерживающие силы можно считать пропорциональными смещениям, что называют гармонич. приближением, в котором уравнения движения частиц являются линейными и в классич. механике имеют вид: m\ddot u(\boldsymbol n)=–\sum_{n'} α(\boldsymbol n- \boldsymbol n')u(\boldsymbol n')\quad(1) где \boldsymbol n, \boldsymbol n' – радиус-векторы узлов кристаллич. решётки, u(\boldsymbol n) – смещение частицы относительно своего узла, m – масса частицы, α(\boldsymbol n-\boldsymbol n') – жёсткости пружинок, соединяющих частицы, относящиеся к узлам с радиус-векторами \boldsymbol n и \boldsymbol n' (величины α образуют матрицу упругих коэффициентов, или динамич. матрицу кристалла; см. Модули упругости).
В гармонич. приближении любое движение атомов может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний (мод), которым отвечают независимые решения уравнений движения (1), имеющие вид бегущих (или стоячих) плоских волн типа u(n)=u_s\sin[kn-w_s(k)t],\tag2где u_s характеризует направление движения атома и зависит от типа атома (в реальном случае является вектором), \boldsymbol k – т. н. квазиволновой вектор, направление которого определяет направление распространения бегущей волны (\boldsymbol k= 2π/λ, где λ – длина волны, миним. значение которой может быть выбрано равным или близким к наименьшему периоду кристаллич. решётки a), ω_s – частота, t – время.
Нормальные колебания различаются квазиволновыми векторами, принимающими дискретные значения (в частности, точка \boldsymbol k=0 отвечает однородным смещениям), число которых равно числу элементарных ячеек в кристалле заданного объёма. В то же время каждому квазиволновому вектору отвечает 3ν мод (ν – число атомов в элементарной ячейке кристалла, множитель 3 отражает возможность каждого атома независимо смещаться в любом из трёх направлений в пространстве). Т. о., число мод равно числу степеней свободы кристалла.
Для каждого s\,(s= 1, 2, ..., 3ν) существует своя (дисперсионная) зависимость ω_s(\boldsymbol k), которая определяет соответствующую ветвь колебаний. В простой кристаллич. решётке (ν=1) существуют только три ветви колебаний, которые называют акустическими. При малых волновых векторах (т. е. при λ много бо́льших размеров элементарной ячейки a_i) каждая из них имеет линейный закон дисперсии (ω_s=c_s k, c_s порядка 105 см·с–1) для любого направления. Такие же колебания возникают при распространении звука в кристаллах. В сложной кристаллич. решётке (ν>1) существуют также и др. ветви колебаний, называемые оптическими; они имеют частоты порядка 1013 с–1 при любых волновых векторах. В отличие от длинноволновых акустич. колебаний, при которых все атомы элементарной ячейки (и центр масс) движутся вместе (рис. А), оптич. колебания характеризуются тем, что при λ≫a атомы движутся относительно центра масс элементарной ячейки, который сам не смещается (рис. Б). В ионных кристаллах элементарные ячейки содержат ионы противоположных знаков, и такие моды приводят к резонансному поглощению световой волны в ИК области частот, в связи с чем они и названы оптическими.
Одной из важных характеристик спектра колебаний кристалла, которая используется при расчёте его свойств, является функция плотности состояний g(ω), которая равна числу нормальных мод на единицу интервала частот. При низких частотах она определяется распределением акустич. мод и пропорциональна ω^2, а при некоторых высоких частотах (в частности, при макс. частоте ω_{макс}) её производная по частоте обращается в бесконечность.
Интенсивность тепловых колебаний зависит от темп-ры кристалла. Для характеристики этой зависимости и оценки вклада колебаний кристалла в разл. физич. явления часто вводят Дебая температуру θ_D. При высоких темп-рах кристалла T≫θ_D средняя энергия каждой моды равна kT (k – постоянная Больцмана), а средний квадрат смещения любого атома 〈u^2〉 пропорционален темп-ре T.
При низких темп-рах (T≪θ_D) такую энергию имеют только акустич. длинноволновые моды, а энергии остальных мод ничтожно малы, что существенно уменьшает величину 〈u^2〉.
При квантовом описании Д. к. р. каждому нормальному колебанию с вектором \boldsymbol k и частотой ω соответствует квазичастица с квазиимпульсом \hbar \boldsymbol k (\hbar – постоянная Планка) и энергией E=\hbar ω. Эта квазичастица называется фононом и является элементарным возбуждением (квантом) в кристаллич. решётке. Т. о., колебания решётки рассматривают как газ фононов, что позволяет вычислять разл. свойства кристалла методами статистич. механики, развитыми для газов. В гармонич. приближении фононы не взаимодействуют друг с другом и, напр., решёточная теплоёмкость вычисляется обычно как теплоёмкость идеального газа фононов при любых темп-рах. В металлах при высоких темп-рах рассеяние электронов на фононах даёт осн. вклад в электрич. сопротивление.
В действительности колебания кристалла не являются гармоническими, что отражается введением в уравнение (1) нелинейных по смещениям слагаемых. Это приводит к тому, что нормальные колебания оказываются связанными друг с другом, а значит, фононы взаимодействуют между собой, т. е. образуют неидеальный газ. Такие взаимодействия являются причиной целого ряда эффектов. К ним относятся, напр., тепловое расширение кристаллов, температурная зависимость частот нормальных мод, конечное время жизни фононов, теплопроводность. Одним из ярких проявлений динамич. нелинейности являются фазовые переходы в кристаллах (напр., сегнетоэлектриках) с т. н. мягкой модой. В таких кристаллах частота некоторого оптич. фонона (мягкой моды) стремится к нулю при понижении темп-ры, что приводит к неустойчивости и перестройке структуры кристаллич. решётки.
Существенное влияние на динамику кристаллич. решётки могут оказывать разл. дефекты, которые всегда существуют в реальных кристаллах (см. Дефекты в кристаллах). Колебания кристаллов с дефектами уже нельзя представлять в виде совокупности плоских волн типа (2). Напр., при замещении к.-л. атомов кристаллич. решётки атомами др. типа (точечные дефекты) могут появляться локальные колебания, имеющие дискретные частоты, отличные от частот нормальных мод идеального кристалла (напр., бóльшие, чем ω_{макс}). Амплитуда таких колебаний резко убывает при удалении от дефекта. Вблизи дислокации (линейного дефекта) или плоского дефекта упаковки также могут появляться колебания, не проникающие в объём и отличающиеся законом дисперсии. К таким колебаниям относятся и звуковые колебания у свободной поверхности (волны Рэлея).