Мо́дули упру́гости (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства однородного материала при малых изотермических деформациях. Обычно модулями упругости называют постоянные коэффициенты, входящие в обобщённый закон Гука, записанный в виде линейных зависимостей компонент тензора напряжений $σ_{ij}$ от компонент тензора деформаций $ε_{ij}.$ В самом общем случае анизотропный материал описывается 21 независимым модулем упругости, изотропный – 2 независимыми модулями упругости.

Модули упругости изотропного материала можно определить, например, из эксперимента на растяжение цилиндрического образца кругового сечения. Если в ходе эксперимента измеряются растягивающее усилие $P$ (сила, приложенная вдоль оси), осевое удлинение $Δl$ и изменение диаметра $Δd,$ то можно вычислить осевое напряжение $σ_1=P/S,$ продольную деформацию $ε_1 =Δl/l$ и поперечную деформацию $ε_2=Δd/d.$ Здесь $S$ – площадь поперечного сечения, $l$ – длина, $d$ – диаметр образца. Эксперименты показывают, что при малых деформациях существует область, в пределах которой величины $E=σ_1/ε_1$ и $ν=Gε_2/ε_1$ являются постоянными. Константа $E$ называется модулем Юнга, или модулем продольной упругости, константа $ν$ – коэффициентом Пуассона, или коэффициентом поперечной деформации. Для различных материалов $0⩽ν⩽0,5,$ причём $ν=0,5$ соответствует несжимаемому материалу. Характерные значения $E$ и $ν$ для некоторых материалов следующие: сталь $E=(1,9–2,2)·10^{11}$ Па, $ν=0,24–0,33;$ латунь $E=(0,9–1,1)· 10^{11}$ Па, $ν= 0,32–0,42;$ титан $E=1,08·10^{11}$ Па, $ν=0,29.$

Закон Гука для изотропного материала с использованием модулей упругости $E$ и $ν$ записывается в виде $$\varepsilon _{ij}=\frac{1+ν}{E}(σ_{ij}-δ_{ij}\frac{ν}{1+ν}σ).$$Здесь $δ_{ij}=1$ при $i=j$ и $δ_{ij}=0$ при $i≠j;$ $σ= (1/3)(σ_{11}+σ_{22}+σ_{33}).$ Закон Гука может быть записан и через другие модули упругости: $σ_{ij}=λθδ_{ij}+ 2με_{ij},$ где $θ=ε_{11}+ε_{22}+ε_{33}$ – относительное изменение объёма; $λ$ и $μ$ – модули упругости, называемые параметрами Ламе.

Наряду с упомянутыми выше модулями упругости на практике часто используются модуль объёмного сжатия $K,$ характеризующий способность тела сопротивляться изменению объёма, не сопровождающемуся изменением формы, и модуль сдвига $G,$ характеризующий способность тела сопротивляться изменению формы без изменения объёма. Модуль $K$ можно определить, например, из эксперимента по нагружению образца гидростатическим давлением $p,$ если удаётся измерить изменение объёма образца; тогда $K=-p/θ.$ Модуль $G$ может быть определён при испытании тонкостенного трубчатого образца на кручение с замером крутящего момента $M$ и угла закручивания $φ$ одного торца относительно другого. Тогда $G=τ/γ,$ где $τ$ – сдвиговое напряжение, $γ$ – сдвиговая деформация, причём $τ=M/(2πR^2h),$ $γ=φR/l,$ $R$ – радиус образца, $l$ – его длина, $h$ – толщина. Модули упругости связаны между собой следующими соотношениями:$$K=\frac{E}{3(1-2ν)}, \quad μ= \frac{E}{2(1+ν)},λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, \quad G=μ.$$Независимыми константами являются любые два модуля упругости, например $E$ и $ν,$ $λ$ и $μ,$ $G$ и $K,$ $E$ и $G.$

Модули упругости не являются строго постоянными величинами для одного и того же материала: они зависят от предварительной термической и химической обработки, уменьшаются с ростом температуры (например, у стали марки 40 значения $E,$ выраженные в 10¹¹ Па, при температурах 20 °С, 100 °С, 300 °С, 500 °С равны соответственно 2,14; 2,10; 1,98; 1,80).