ФУРЬЕ́ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФУРЬЕ́ ИНТЕГРА́Л, формула для разложения непериодической функции на гармонич. компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция $f(x)$ интегрируема на каждом конечном отрезке и интеграл $$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx$$ сходится, то $$f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}du \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos\,u(x-t)dt.\tag{1}$$ Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позднее др. математиками. Формулу (1) можно представить в виде $$f(x)=\int_{0}^{\infty}[a(u)\cos\,ux+b(u)\sin\,ux]du,\tag{2}$$ где $$a(u)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos\,utdt,\\ b(u)\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin\,utdt.$$
Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму Фурье ряда для функций, имеющих период $2T$, когда $T\rightarrow\infty$ , при этом $a(u)$ и $b(u)$ аналогичны Фурье коэффициентам функции $f(x)$.
Используя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}du\int_{-\infty}^{\infty}e^{iu(x-t) f(t)}dt.$$ Формулу (1) можно преобразовать также к виду $$f(x)=\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\frac{\sin\lambda(x-t)}{x-t}dt\tag{3}$$(простой интеграл Фурье).
Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся, то во многих случаях их можно просуммировать к $f(x)$ при помощи того или иного метода суммирования (см. Суммирование рядов). При решении мн. задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.