ФУРЬЕ́ ИНТЕГРА́Л

ФУРЬЕ́ ИНТЕГРА́Л, фор­му­ла для раз­ло­же­ния не­пе­рио­ди­че­ской функ­ции на гар­мо­нич. ком­по­нен­ты, час­то­ты ко­то­рых про­бе­га­ют не­пре­рыв­ную со­во­куп­ность зна­че­ний. Ес­ли функ­ция $f(x)$ ин­тег­ри­руе­ма на ка­ж­дом ко­неч­ном от­рез­ке и ин­те­грал $$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx$$ схо­дит­ся, то $$f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}du \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos\,u(x-t)dt.\tag{1}$$ Эта фор­му­ла впер­вые встре­ча­ет­ся при ре­ше­нии не­ко­то­рых за­дач те­п­ло­про­вод­но­сти у Ж. Фу­рье

(1811), но её до­ка­за­тель­ст­во бы­ло да­но позд­нее др. ма­те­ма­ти­ка­ми. Фор­му­лу (1) мож­но пред­ста­вить в ви­де $$f(x)=\int_{0}^{\infty}[a(u)\cos\,ux+b(u)\sin\,ux]du,\tag{2}$$ где $$a(u)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos\,utdt,\\ b(u)\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin\,utdt.$$

Фор­му­лу (2) мож­но рас­смат­ри­вать как пре­дель­ную фор­му Фу­рье ря­да

для функ­ций, имею­щих пе­ри­од $2T$, ко­гда $T\rightarrow\infty$ , при этом $a(u)$ и $b(u)$ ана­ло­гич­ны Фу­рье ко­эф­фи­ци­ен­там

 >>

функ­ции $f(x)$.

Ис­поль­зуя ком­плекс­ные чис­ла, мож­но за­ме­нить фор­му­лу (1) фор­му­лой $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}du\int_{-\infty}^{\infty}e^{iu(x-t) f(t)}dt.$$ Фор­му­лу (1) мож­но пре­об­ра­зо­вать так­же к ви­ду $$f(x)=\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\frac{\sin\lambda(x-t)}{x-t}dt\tag{3}$$ (про­стой ин­те­грал Фу­рье).

Ес­ли ин­те­гра­лы в фор­му­лах (2), (3) рас­хо­дят­ся, то во мно­гих слу­ча­ях их мож­но про­сум­ми­ро­вать к $f(x)$ при по­мо­щи то­го или ино­го ме­то­да сум­ми­ро­ва­ния (см. Сум­ми­ро­ва­ние ря­дов

). При ре­ше­нии мн. за­дач ис­поль­зу­ют­ся фор­му­лы Ф. и. для функ­ций двух и боль­ше­го чис­ла пе­ре­мен­ных.