ФУРЬЕ́ КОЭФФИЦИЕ́НТЫ

ФУРЬЕ́ КОЭФФИЦИЕ́НТЫ, ко­эф­фи­ци­ен­ты раз­ло­же­ния пе­рио­дич. функ­ции в ряд Фу­рье. Функ­ция $f(x)$, имею­щая пе­ри­од $2T$, пред­став­ля­ет­ся ря­дом Фу­рье$$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left( a_k\cos\frac{\pi kx}{T}+b_k\sin\frac{\pi kx}{T} \right),$$где Ф. к. оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми$$a_k=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x)\cos\frac{\pi kx}{T}dx,\quad k=0, 1, ...,\\  b_k=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x)\sin\frac{\pi kx}{T}dx,\quad k=1, 2, ...,$$ ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся фор­му­ла­ми Эй­ле­ра – Фу­рье.

Не­пре­рыв­ная функ­ция $f(x)$ од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет­ся свои­ми Ф. к. Для ин­тег­ри­руе­мой функ­ции $f(x)$ её Ф. к. стре­мят­ся к ну­лю при $k→∞$, при­чём ско­рость их убы­ва­ния за­ви­сит от диф­фе­рен­ци­аль­ных свойств функ­ции $f(x)$; напр., ес­ли $f(x)$ име­ет $l$ не­пре­рыв­ных про­из­вод­ных, то су­ще­ст­ву­ет та­кое чис­ло $c$, что $∣a_k∣ ⩽ c/k^l$, $∣b_k∣ ⩽ c/k^l$.

Ф. к. свя­за­ны с $f(x)$ так­же ра­вен­ст­вом Пар­се­ва­ля $$\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}|f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=2}^{\infty}(|a_k|^2+|b_k|^2).$$

О Ф. к. функ­ции $f(x)$ по лю­бой нор­ми­ро­ван­ной ор­то­го­наль­ной сис­те­ме функ­ций $φ_1(x)$, $φ_2(x)$,$...$ на про­ме­жут­ке $(a,b)$ см. Фу­рье ряд.