ПОТЕНЦИА́ЛА ТЕО́РИЯ

ПОТЕНЦИА́ЛА ТЕО́РИЯ, в пер­во­на­чаль­ном по­ни­ма­нии – уче­ние о свой­ст­вах сил, дей­ст­вую­щих по за­ко­ну все­мир­но­го тя­го­те­ния. В фор­му­ли­ров­ке это­го за­ко­на, дан­ной И. Нью­то­ном (1687), речь идёт толь­ко о си­лах вза­им­но­го при­тя­же­ния, дей­ст­вую­щих на две ма­те­ри­аль­ные час­ти­цы ма­лых раз­ме­ров, или ма­те­ри­аль­ные точ­ки, пря­мо про­пор­цио­наль­ных про­из­ве­де­нию масс этих час­тиц и об­рат­но про­пор­цио­наль­ных квад­ра­ту рас­стоя­ния ме­ж­ду час­ти­ца­ми. По­это­му пер­вой и важ­ней­шей с точ­ки зре­ния не­бес­ной ме­ха­ни­ки за­да­чей бы­ло изу­че­ние сил при­тя­же­ния ма­те­ри­аль­ной точ­ки ог­ра­ни­чен­ным ма­те­ри­аль­ным те­лом – эл­лип­сои­дом (ибо мн. не­бес­ные те­ла име­ют имен­но эту фор­му). По­сле пер­вых дос­ти­же­ний И. Нью­то­на и др. учё­ных осн. зна­че­ние здесь име­ли ра­бо­ты Ж. Ла­гран­жа (1773), А. Ле­жан­д­ра (1784–94) и П. Ла­п­ла­са (1782–99). Ла­гранж ус­та­но­вил, что по­ле сил тя­го­те­ния яв­ля­ет­ся, как го­во­рят те­перь, по­тен­ци­аль­ным, и ввёл функ­цию, ко­то­рую позд­нее Дж. Грин (1828) на­звал по­тен­ци­аль­ной, а К. Га­усс (1840) – про­сто по­тен­циа­лом. Ны­не дос­ти­же­ния это­го пер­во­на­чаль­но­го пе­рио­да обыч­но вхо­дят в кур­сы клас­сич. не­бес­ной ме­ха­ни­ки.

Ещё К. Га­усс и его со­вре­мен­ни­ки об­на­ру­жи­ли, что ме­тод по­тен­циа­лов при­ме­ним не толь­ко для ре­ше­ния за­дач тео­рии тя­го­те­ния, но и для ши­ро­ко­го кру­га за­дач ма­те­ма­тич. фи­зи­ки, свя­зан­ных, в ча­ст­но­сти, с элек­тро­ста­ти­кой и маг­не­тиз­мом. В свя­зи с этим ста­ли рас­смат­ри­вать­ся по­тен­циа­лы не толь­ко фи­зи­че­ски ре­аль­ных в во­про­сах вза­им­но­го при­тя­же­ния по­ло­жи­тель­ных масс, но и «масс» про­из­воль­но­го зна­ка, или за­ря­дов. В П. т. оп­ре­де­ли­лись осн. крае­вые за­да­чи, та­кие как за­да­ча Ди­рих­ле и за­да­ча Ней­ма­на, за­да­ча элек­тро­ста­ти­ки о ста­тич. рас­пре­де­ле­нии за­ря­дов на про­вод­ни­ках и др. Для ре­ше­ния этих за­дач в слу­чае об­лас­тей с дос­та­точ­но глад­кой гра­ни­цей эф­фек­тив­ным сред­ст­вом ока­за­лись спец. раз­но­вид­но­сти по­тен­циа­лов, т. е. спец. ви­ды ин­те­гра­лов, за­ви­ся­щих от па­ра­мет­ров, та­кие как по­тен­ци­ал объ­ём­но рас­пре­делён­ных масс, по­тен­циа­лы про­сто­го и двой­но­го слоя, ло­га­риф­мич. по­тен­циа­лы и др. П. т. соз­да­на не­за­ви­си­мо Дж. Гри­ном (1828) и К. Га­ус­сом (1840). Су­ще­ст­вен­ную роль в соз­да­нии стро­гих ме­то­дов ре­ше­ния осн. крае­вых за­дач сыг­ра­ли ра­бо­ты А. М. Ля­пу­но­ва и В. А. Стек­ло­ва кон. 19 в. Изу­че­ние свойств по­тен­циа­лов разл. ви­дов при­об­ре­ло в П. т. и са­мо­сто­ят. зна­че­ние.

Мощ­ный сти­мул в на­прав­ле­нии обоб­ще­ния осн. за­дач и за­кон­чен­но­сти фор­му­ли­ро­вок П. т. по­лу­чи­ла в 1-й пол. 20 в. на ос­но­ве ис­поль­зо­ва­ния об­щих по­ня­тий тео­рии ме­ры и обоб­щён­ных функ­ций. Со­вре­мен­ная П. т. тес­но свя­за­на с тео­ри­ей ана­ли­тич. функ­ций, гар­мо­нич. функ­ций, суб­гар­мо­нич. функ­ций и тео­ри­ей ве­ро­ят­но­стей. На­ря­ду с даль­ней­шим уг­луб­лён­ным изу­че­ни­ем клас­сич. крае­вых за­дач и об­рат­ных за­дач, для совр. пе­рио­да раз­ви­тия П. т. ха­рак­тер­но при­ме­не­ние по­ня­тий и ме­то­дов то­по­ло­гии и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за, а так­же аб­ст­ракт­ных ак­сио­ма­тич. ме­то­дов.