ПОТЕНЦИА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПОТЕНЦИА́Л (от лат. potentia – сила) в математике, понятие, характеризующее широкий класс физич. силовых полей (гравитационное, электрическое и др.) и вообще поля физич. величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и др.). В электростатич. поле П. вводится как вспомогательная функция, пространственные производные которой – компоненты напряжённости электрич. поля в данной точке, в гидродинамике – компоненты скорости жидкости в данной точке и т. п. При этом П. в ряде случаев имеет и важный физич. смысл. Так, в электростатич. поле он численно равен (с обратным знаком) работе, необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.
В общем случае П. векторного поля $a(x, y, z)$ – скалярная функция $u(x, y, z)$ такая, что $a=\rm{grad}\,\it u$, т. е. $a_x=\frac{\partial u}{\partial x}$, $a_y=\frac{\partial u}{\partial y}$, $a_z=\frac{\partial u}{\partial z}$, где $a_x$, $a_y$, $a_z$ – компоненты поля $a$ в прямоугольной системе координат $Oxyz$. Если такая функция существует, то векторное поле $a$ называется потенциальным. Иногда П. называют функцию $U=–u$ (напр., в электростатике). П. векторного поля $a$ определяется не однозначно, а с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому при изучении потенциального поля представляют интерес лишь разности П. в разл. точках поля. Уравнение $u(x, y, z)=c$ геометрически представляет поверхность, во всех точках которой П. имеет одну и ту же величину; такие поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями.
Для поля тяготения, образованного помещённой в точку $A(ξ, η, ζ)$ точечной массой $m$, П. (ньютонов П.) имеет в точке $P(x,y,z)$ вид $$u(x,y,z)=Gm/r,$$ где$$r=\sqrt {(x-ξ)^2+(y-η)^2+(z-ζ)^2},$$ $G$ – гравитац. постоянная. При наложении полей их П. алгебраически складываются. Если поле тяготения порождается некоторой массой, имеющей плотность $ρ(ξ, η, ζ)$ и занимающей объём $V$, то его П. можно рассматривать как наложение элементарных полей, образованных бесконечно малыми телами массы $ρdξdηdζ$. Ньютонов П. такого поля представляется интегралом $$u(x,y,z)=G\iiint_V\frac{\rho}{v} ρdξdηdζ.\tag{*}$$ П. $u(x, y, z)$ – непрерывная функция во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка; вне тела объёма $V$ функция $u(x, y, z)$ удовлетворяет Лапласа уравнению, внутри – Пуассона уравнению.
Если притягивающие массы распределены с плотностью $ρ_S$ по поверхности $S$ (простой слой), то П. образованного ими поля выражается интегралом $$v(x,y,z)=G\int_S\frac{\rho_S}{r}ds.$$ П. простого слоя $v(x, y, z)$ – функция, непрерывная во всём пространстве; при пересечении поверхности $S$ нормальная производная функции $v(x, y, z)$ имеет разрыв, равный $4πG/ρ_S$. Неограниченно сближая две поверхности, на которых расположены простые слои с плотностями $ρ_S$ и $-ρ_S$, и одновременно увеличивая $ρ_S$ до бесконечности, но так, чтобы был конечен предел $lim nρ_S=μ$, где $n$ – нормальное расстояние между поверхностями, приходят к понятию П. двойного слоя: $$w(x,y,z)=G\int_S \mu\frac{\partial}{\partial n}\frac{1}{r}ds.$$ П. двойного слоя $w(x, y, z)$ – непрерывная функция во всём пространстве вне $S$; при пересечении поверхности $S$ функция $w(x, y, z)$ имеет разрыв, равный $4πGμ$.
Функции $v(x, y, z)$ и $w(x, y, z)$ удовлетворяют уравнению Лапласа. В виде суммы П. простого и двойного слоёв может быть представлена любая гармонич. функция.
Если тело $V$ – бесконечный цилиндр с поперечным сечением $D$ и плотность $ρ$ вещества цилиндра постоянна вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (*) приводит к понятию логарифмического потенциала: $$u(x,y)=G\int_D \rho \ln(1/\rho)ds.$$
В ряде математич. задач используется понятие векторного П.; см. Векторное исчисление.
Идея П. принадлежит Ж. Лагранжу (1775) и П. Лапласу (1782). Теория П. создана независимо Дж. Грином (1828) и К. Гауссом (1840).