О́БЩАЯ ТОПОЛО́ГИЯ

О́БЩАЯ ТОПОЛО́ГИЯ, часть то­по­ло­гии, по­свя­щён­ная ис­сле­до­ва­нию не­пре­рыв­но­сти и пре­дель­но­го пе­ре­хо­да на том ес­те­ст­вен­ном уров­не общ­но­сти, ко­то­рый оп­ре­де­ля­ет­ся при­ро­дой этих по­ня­тий. Ис­ход­ны­ми в О. т. яв­ля­ют­ся по­ня­тия то­по­ло­ги­че­ско­го про­стран­ст­ва и не­пре­рыв­но­го ото­бра­же­ния, вы­де­лен­ные в 1914 Ф. Ха­ус­дор­фом. Ча­ст­ным слу­ча­ем не­пре­рыв­но­го ото­бра­же­ния яв­ля­ет­ся го­мео­мор­физм – не­пре­рыв­ное вза­им­но од­но­знач­ное ото­бра­же­ние од­но­го то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва на дру­гое, об­ла­даю­щее не­пре­рыв­ным об­рат­ным ото­бра­же­ни­ем. Про­стран­ст­ва, ко­то­рые мож­но ото­бра­зить друг на дру­га по­сред­ст­вом го­мео­мор­физ­ма (т. е. го­мео­морф­ные про­стран­ст­ва), счи­та­ют­ся в О. т. оди­на­ко­вы­ми. Од­ной из осн. за­дач О. т. яв­ля­ет­ся вы­де­ле­ние и ис­сле­до­ва­ние то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­тов – свойств про­странств, со­хра­няю­щих­ся при го­мео­мор­физ­мах. К их чис­лу от­но­сит­ся, напр., раз­мер­ность. В свя­зи с сис­те­мой то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­тов воз­ни­ка­ют клас­сы то­по­ло­гич. про­странств, напр. мет­ри­че­ские про­стран­ст­ва, ком­пакт­ные про­стран­ст­ва.

Осн. «внут­рен­ни­ми» за­да­ча­ми О. т. яв­ля­ют­ся: 1) вы­де­ле­ние но­вых важ­ных клас­сов то­по­ло­гич. про­странств; 2) срав­не­ние разл. клас­сов то­по­ло­гич. про­странств; 3) изу­че­ние про­странств в пре­де­лах то­го или ино­го клас­са.

Вы­де­ле­ние но­вых клас­сов то­по­ло­гич. про­странств (т. е. но­вых то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­тов) час­то свя­за­но с рас­смот­ре­ни­ем до­пол­нит. струк­тур на про­стран­стве (чи­сло­вых, ал­геб­раи­че­ских, по­ряд­ко­вых), со­гла­со­ван­ных с его то­по­ло­ги­ей. Так, вы­де­ля­ют­ся мет­ри­зуе­мые про­стран­ст­ва, упо­ря­до­чен­ные про­стран­ст­ва и др. Важ­ную роль при ре­ше­нии за­дач 1–3 иг­ра­ет ме­тод по­кры­тий. На язы­ке по­кры­тий и со­от­но­ше­ний ме­ж­ду ни­ми вы­де­ля­ют­ся фун­дам. клас­сы би­ком­пакт­ных и па­ра­ком­пакт­ных про­странств, фор­му­ли­ру­ют­ся свой­ст­ва ти­па ком­пакт­но­сти.

Для ре­ше­ния за­да­чи 2 осо­бен­но ва­жен ме­тод вза­им­ной клас­си­фи­ка­ции про­странств и ото­бра­же­ний. Он на­прав­лен на ус­та­нов­ле­ние свя­зей ме­ж­ду разл. клас­са­ми то­по­ло­гич. про­странств по­сред­ством не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ний, под­чи­нён­ных тем или иным про­стым ог­ра­ниче­ни­ям. Про­стран­ст­ва весь­ма об­щей при­ро­ды уда­ёт­ся при этом опи­сать как об­ра­зы бо­лее про­стых про­странств при «хо­ро­ших» ото­бра­же­ни­ях. Свя­зи та­ко­го ро­да со­став­ля­ют эф­фек­тив­ную сис­те­му ори­ен­ти­ров при рас­смот­ре­нии ши­ро­ких клас­сов то­по­ло­гич. про­странств.

О. т. важ­на и в ме­то­дич. от­но­ше­нии при обу­че­нии ма­те­ма­ти­ке. Толь­ко в рам­ках её по­ня­тий и кон­ст­рук­ций впол­не вы­яс­ня­ют­ся и ста­но­вят­ся про­зрач­ны­ми фун­дам. кон­цеп­ции не­пре­рыв­но­сти, схо­ди­мо­сти, пре­дель­но­го пе­ре­хо­да. В этом, в ча­ст­но­сти, про­яв­ля­ет­ся её объ­е­ди­няю­щая роль в ма­те­ма­ти­ке. По­ло­же­ние О. т. в ма­те­ма­ти­ке оп­ре­де­ля­ет­ся и тем, что об­шир­ный ряд прин­ци­пов и тео­рем, имею­щих фун­дам. зна­че­ние, по­лу­ча­ет свою ес­те­ст­вен­ную (т. е. от­ве­чаю­щую при­ро­де этих прин­ци­пов и тео­рем) фор­му­ли­ров­ку толь­ко в рам­ках об­щей то­по­ло­гии.