ПОКРЫ́ТИЕ

ПОКРЫ́ТИЕ мно­же­ст­ва X, се­мей­ст­во под­мно­жеств это­го мно­же­ст­ва, объ­е­ди­не­ние ко­то­рых есть X, или се­мей­ст­во под­мно­жеств про­стран­ст­ва, в ко­то­ром рас­по­ло­же­но X и ко­то­рое со­дер­жит X.

В тео­рии то­по­ло­гич. про­странств ес­те­ст­вен­но рас­смат­ри­вать от­кры­тые П., то есть П., все эле­мен­ты ко­то­рых яв­ля­ют­ся от­кры­ты­ми мно­же­ст­ва­ми. Зна­че­ние от­кры­тых П. обу­слов­ле­но тем, что их эле­мен­ты не­сут в се­бе пол­ную ин­фор­ма­цию о ло­каль­ном строе­нии про­стран­ст­ва, а свой­ст­ва П. в це­лом от­ра­жа­ют су­ще­ст­вен­но гло­баль­ную ха­рак­те­ри­сти­ку про­странств. Так, на язы­ке П. оп­ре­де­ля­ет­ся раз­мер­ность по Ле­бе­гу нор­маль­но­го про­стран­ст­ва: она не пре­вос­хо­дит на­ту­раль­но­го чис­ла n, ес­ли в лю­бое ко­неч­ное П. мож­но впи­сать от­кры­тое П., крат­ность ко­то­ро­го (т. е. чис­ло эле­мен­тов П., со­дер­жа­щих дан­ную точ­ку) не пре­вос­хо­дит n. Воз­мож­ность в лю­бое от­кры­тое П. впи­сать ко­неч­ное от­кры­тое П. ха­рак­те­ри­зу­ет ком­пакт­ные про­стран­ст­ва; сре­ди ог­ра­ни­че­ний на П., свя­зан­ных не с ха­рак­те­ром эле­мен­тов, а с их рас­по­ло­же­ни­ем, ча­ще дру­гих встре­ча­ет­ся ло­каль­ная ко­неч­ность: у ка­ж­дой точ­ки есть ок­ре­ст­ность, пе­ре­се­каю­щая­ся с ко­неч­ным чис­лом эле­мен­тов по­кры­тия.