ВЫЧИСЛИ́ТЕЛЬНАЯ МАТЕМА́ТИКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ВЫЧИСЛИ́ТЕЛЬНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием электронно-вычислит. машин (ЭВМ, компьютеров). Содержание термина «В. м.» нельзя считать установившимся, т. к. эта область математики интенсивно развивается в связи с совершенствованием вычислит. техники и применениями ЭВМ в новых направлениях. На начальном этапе использования ЭВМ термин «В. м.» понимался как теория численных методов и алгоритмов решения типовых математич. задач. Впоследствии термин «В. м.» стал пониматься в указанном выше более широком смысле. В В. м. можно выделить следующие три осн. раздела. Первый связан с применением ЭВМ в разл. областях научной и практич. деятельности и может быть характеризован как построение и анализ математич. моделей. Второй связан с разработкой методов и алгоритмов решения типовых математич. задач, возникающих при исследовании математич. моделей. Третий раздел связан с вопросом об упрощении взаимоотношений человека с ЭВМ. Большой вклад в развитие В. м. внесли Н. С. Бахвалов, В. В. Воеводин, В. М. Глушков, С. К. Годунов, А. А. Дородницын, А. П. Ершов, Ю. И. Журавлёв, М. В. Келдыш, М. М. Лаврентьев, Г. И. Марчук, Н. Н. Моисеев, А. Н. Тихонов, А. А. Самарский.
Построение и анализ математических моделей
Построение и анализ модели включает постановку задачи, выбор модели, анализ и обработку исходной информации, численное решение возникающих математич. задач, анализ результатов вычислений и вопросов, связанных с реализацией полученных результатов. При выборе модели должно учитываться, что точность результатов, которую обеспечивает модель при исследовании конкретного явления, должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость уточнения используемой модели, а в ряде случаев её замены. Построение и изучение математич. моделей с помощью ЭВМ широко применяется в научной и прикладной деятельности (химия, металлургия, биология и медицина, разведка и добыча полезных ископаемых, проблемы климата, экология, экономика, планирование, управление, прогнозирование), а во многих направлениях прикладной науки их развитие невозможно без развития численных методов и применения компьютеров. Напр., в связи с прекращением ядерных испытаний совершенствование ядерного оружия должно опираться на результаты математич. моделирования соответствующих процессов на всё более совершенных компьютерах.
Разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач
Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей зачастую требует разработки новых численных методов, и в первую очередь методов решения типовых математич. задач (В. м. в узком смысле слова). Примерами типовых математич. задач являются задачи алгебры, связанные с численными методами решения систем линейных алгебраич. уравнений (в особенности, больших систем и систем с разреженными матрицами), обращением матриц, нахождением собств. значений матриц. Др. примеры связаны с численным дифференцированием и численным интегрированием функций одного или нескольких переменных, численными методами решения дифференциальных уравнений, методами решения интегральных уравнений. Мн. исследования посвящены численным методам решения уравнений с частными производными. Здесь большое внимание уделяется экономичным методам, позволяющим получать решение при относительно малом числе операций. Важный раздел В. м. составляют численные методы оптимизации. Задачи оптимизации состоят в нахождении экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов на множествах, часто имеющих весьма сложную структуру. Сюда относятся задачи математич. программирования (в т. ч. линейного и динамического), к которым сводятся мн. задачи управления и экономики. К задачам оптимизации примыкают минимаксные задачи, возникающие в игр теории и в исследовании операций. При решении наиболее сложных прикладных задач получили распространение численно-асимптотич. методы, сочетающие методы разложения решений в ряды (по малым параметрам) с использованием возможностей компьютеров. Важное направление в теории численных методов связано с исследованием их устойчивости к разл. рода ошибкам (в т. ч. к ошибкам округления). Большое внимание уделяется разработке методов решения т. н. некорректных или обратных задач (см. Некорректных задач численные методы решения). К ним относятся, напр., задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений по известному с некоторой погрешностью решению, задачи обработки результатов физич. экспериментов, задачи геофизики, математич. задачи, связанные с обнаружением залежей полезных ископаемых. В частности, типичная математич. задача определения элемента x из уравнения Ax=b при заданных матрице A и векторе b часто оказывается неустойчивой (некорректно поставленной) в том смысле, что малым погрешностям входных данных могут соответствовать большие погрешности решения x. К классу некорректных задач относятся мн. задачи обработки информации, в частности задачи распознавания образов, промышленной и медицинской диагностики, речевого ввода данных.
В большинстве разделов В. м. важное место занимают вопросы оптимизации численных методов решения. Для широких классов задач удалось построить методы с вычислит. затратами, близкими к минимально возможным. В теоретич. математике ведутся исследования сложности алгоритмов, важные при решении реальных прикладных задач.
Взаимодействие человека с ЭВМ
На начальном этапе применения компьютеров программы для них составлялись на внутреннем языке компьютера, затем появились языки высокого уровня и ныне имеется большой набор стандартных программ решения типовых задач, пакетов и библиотек таких программ. Рост быстродействия компьютеров, сопровождавшийся ростом числа решаемых задач, привёл к возникновению трудностей в системе взаимодействия человека с машиной, связанных со скоростью программирования. Это привело к созданию последовательности универсальных и проблемно-ориентированных алгоритмич. языков. Вследствие большой близости алгоритмич. языков с естеств. языками, их внедрение упростило программирование и существенно расширило круг пользователей. В науч. расчётах наиболее распространены язык фортран, на котором созданы богатейшие запасы стандартных программ, и активно распространяющийся язык си, более удобный при разработке новых систем программирования и наиболее приспособленный для программирования параллельных вычислений. Используются также сочетания этих языков. В связи с глобальной компьютеризацией, сопровождающейся общим снижением уровня математич. культуры, важной проблемой является разработка методов решения задач и создания систем общения человека с компьютером, требующих миним. знаний математики и численных методов, что предъявляет новые требования к алгоритмам и программам решения типовых математич. и прикладных задач и к разработке новых средств общения человека с компьютером. Возможности общения человека с компьютером непрерывно совершенствуются; напр., создаются системы программирования, дающие возможность простого обращения к широкому классу стандартных программ, и системы программирования, содержащие формульные вычисления. Примерами универсальных систем такого рода являются Matematiсa, MatLab, Maple, Reduce. Поскольку пользователями таких систем являются зачастую исследователи, весьма далёкие от математики, стандартные программы, включённые в такие системы, должны обладать повышенной надёжностью, в связи с этим разработка подобных систем предъявляет, в частности, новые требования к теории численных методов. При решении мн. прикладных задач важно создание комплексов программ и языков общения с компьютером, позволяющих вести работу в диалоговом режиме, с тем чтобы сочетать вычислительные и логич. возможности компьютеров с возможностями человека. В то же время во многих случаях, требующих быстрой реакции, разрабатываются алгоритмы, исключающие вмешательство человека. Получают распространение комплексы, включающие большое число вычислит. машин и допускающие одновременное обслуживание большого числа пользователей. Намечающееся широкое использование параллельных компьютеров и систем с распределённой памятью должно изменить приоритеты в развитии теории численных методов, их оптимизации и в разработке систем общения человека с компьютером.