НЕКОРРЕ́КТНЫХ ЗАДА́Ч ЧИ́СЛЕННЫЕ МЕ́ТОДЫ РЕШЕ́НИЯ

НЕКОРРЕ́КТНЫХ ЗАДА́Ч ЧИ́СЛЕННЫЕ МЕ́ТОДЫ РЕШЕ́НИЯ, приё­мы и ме­то­ды ре­ше­ния за­дач, для ко­то­рых не удов­ле­тво­ря­ет­ся хо­тя бы од­но из при­во­ди­мых ни­же ус­ло­вий. За­да­ча оп­ре­де­ле­ния ре­ше­ния урав­не­ния $z=R(u)$, где $z$ – эле­мент мет­ри­чес­ко­го про­стран­ст­ва

$Z$ (с рас­стоя­ни­ем $ρ_Z$), по «ис­ход­ным дан­ным» $u$ из мет­рич. про­стран­ст­ва $U$ (с рас­стоя­ни­ем $ρ_U$), на­зы­ва­ет­ся кор­рект­но по­став­лен­ной на па­ре про­странств ($Z, U$), если: а) для лю­бо­го $u∈U$ су­ще­ст­ву­ет реше­ние $z∈Z$; б) ре­ше­ние оп­ре­де­ле­но од­но­знач­но; в) за­да­ча ус­той­чи­ва на па­ре ($Z, U$), т. е. для лю­бо­го $ε>0$ су­ще­ст­ву­ет $δ(ε)>0$ та­кое, что для лю­бых $u_1, u_2∈U$ из не­ра­вен­ст­ва $ρ_U(u_1, u_2)⩽δ(ε)$ сле­ду­ет не­ра­вен­ст­во $ρ_Z(z_1, z_2)⩽ε$, где $z_1=R(u_1), z_2=R(u_2)$. Это по­ня­тие кор­рект­но­сти при­над­ле­жит Ж. Ада­ма­ру

 >>

(1923), ко­то­рый счи­тал, что вся­кая ма­те­ма­тич. за­дача, со­от­вет­ст­вую­щая к.-л. фи­зич. или тех­нич. за­да­че, долж­на быть кор­рект­ной, по­сколь­ку в про­тив­ном слу­чае при сколь угод­но ма­лых из­ме­не­ни­ях ис­ход­ных дан­ных ре­ше­ния мо­гут силь­но от­ли­чать­ся, че­му нель­зя дать фи­зич. ин­тер­пре­та­цию. Од­на­ко та­кая точ­ка зре­ния, ес­те­ст­вен­ная для мн. за­дач ес­те­ст­во­зна­ния и тех­ни­ки, не мо­жет быть пе­ре­не­се­на на все за­да­чи. На­при­мер, не­ус­той­чи­вы­ми яв­ля­ют­ся за­да­чи диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния функ­ций, из­вест­ных при­бли­жен­но, чис­лен­но­го сум­ми­ро­ва­ния ря­дов Фу­рье, ко­гда их ко­эф­фи­ци­ен­ты из­вест­ны при­бли­жен­но, за­да­ча Ко­ши для урав­не­ния Ла­п­ла­са.

К не­кор­рект­ным за­да­чам от­но­сит­ся ши­ро­кий класс т. н. об­рат­ных за­дач, воз­ни­каю­щих в фи­зи­ке и тех­ни­ке, в ча­ст­но­сти за­да­чи об­ра­бот­ки ре­зуль­та­тов фи­зич. экс­пе­ри­мен­тов. Пусть ве­ли­чи­на $z$ – ко­ли­че­ст­вен­ная ха­рак­те­ри­сти­ка (функ­ция, век­тор) изу­чае­мо­го яв­ле­ния (объ­ек­та), час­то о ве­ли­чи­не $z$ из­вест­но, что она при­над­ле­жит не­ко­то­ро­му под­мно­же­ст­ву $M$ мет­рич. про­стран­ст­ва $Z$. В фи­зич. экс­пе­ри­мен­те ве­ли­чи­на $z$ час­то не­дос­туп­на не­по­средств. из­ме­ре­нию, а из­ме­ря­ет­ся лишь её про­яв­ле­ние $u=Az$. Для ин­тер­пре­та­ции ре­зуль­та­та из­ме­ре­ния не­об­хо­ди­мо оп­ре­де­лять $z$ по $u$, т. е. ре­шать урав­не­ние $$Az=u.\;\;\;\;\;(1)$$

Ес­ли $u∈AM$, где $AM$ – об­раз $M$ при его ото­бра­же­нии с по­мо­щью опе­ра­то­ра $A$, то ре­ше­ние это­го урав­не­ния есть $z=A^{–1}u$, где $A^{–1}$ – опе­ра­тор, об­рат­ный опе­ра­то­ру $A$. Так как эле­мент $u$ час­то по­лу­ча­ют пу­тём из­ме­ре­ний, то он обыч­но бы­ва­ет из­вес­тен лишь при­бли­жен­но; пусть $\tilde u$ – его при­бли­жен­ное зна­че­ние. В этих ус­ло­ви­ях речь мо­жет ид­ти лишь о на­хо­ж­де­нии при­бли­жен­но­го (к $z$) «ре­ше­ния» урав­не­ния $$Az=\tilde u.\;\;\;\;\;(2)$$

Опе­ра­тор $A$ во мно­гих слу­ча­ях та­ков, что об­рат­ный ему опе­ра­тор $A^{–1}$ не яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ным. В этих слу­ча­ях в ка­че­ст­ве при­бли­жен­но­го ре­ше­ния урав­не­ния (1) нель­зя брать точ­ное ре­ше­ние урав­не­ния (2), т. е. эле­мент , так как: а) та­ко­го ре­ше­ния мо­жет не су­щест­во­вать на $M$, по­сколь­ку мо­жет не при­над­ле­жать мно­же­ст­ву $AM$; б) та­кое ре­ше­ние, да­же ес­ли оно су­ще­ст­ву­ет, мо­жет не об­ла­дать свой­ст­вом ус­той­чи­во­сти к ма­лым из­ме­не­ни­ям (по­сколь­ку об­рат­ный опе­ра­тор $A^{–1}$ не яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ным) и по­это­му не мо­жет быть фи­зи­че­ски ин­тер­пре­ти­руе­мым. За­да­ча (2) яв­ля­ет­ся не­кор­рект­ной.

Для не­кор­рект­ных за­дач ви­да (1), (2) воз­ни­ка­ют во­про­сы: а) что по­ни­ма­ет­ся под при­бли­жен­ным ре­ше­ни­ем та­ких за­дач? и б) ка­ко­вы ал­го­рит­мы по­строе­ния ре­ше­ний? Эти во­про­сы бы­ли впер­вые рас­смот­ре­ны А. Н. Ти­хо­но­вым

(1963).

Ме­тод под­бо­ра. В не­ко­то­рых слу­ча­ях при­бли­жен­ные ре­ше­ния урав­не­ния (1) на­хо­дят­ся ме­то­дом под­бо­ра. Он со­сто­ит в том, что из мно­же­ст­ва $M$ возмож­ных ре­ше­ний, $M⊂Z$, вы­би­ра­ют эле­мент $\tilde z$, для ко­то­ро­го $A\tilde z$ при­бли­жа­ет пра­вую часть урав­не­ния (1) с за­дан­ной точ­но­стью, и в ка­че­ст­ве ис­ко­мо­го при­бли­же­ния бе­рут эле­мент $\tilde z$. Этот ме­тод при­ме­ним, ко­гда из не­ра­вен­ст­ва $ρ_U(A\tilde z, Az)⩽δ$ сле­ду­ет, что $ρ_Z(\tilde z, z) ⩽ε (δ)$, где $ε(δ )→ 0$ при $δ→ 0$. Это име­ет ме­сто при ус­ло­вии од­но­знач­ной раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ния (1) и при ус­ло­вии, что мно­же­ст­во $M$ – ком­пакт. На ос­но­ве этих ус­ло­вий вво­дит­ся по­ня­тие кор­рект­но­сти по Ти­хо­но­ву, на­зы­вае­мое так­же ус­лов­ной кор­рект­но­стью. В при­ме­не­нии к урав­не­нию (1) за­да­ча на­зы­ва­ет­ся кор­рект­ной по Ти­хо­но­ву, ес­ли из­вест­но, что для точ­но­го зна­че­ния $u$ пра­вой час­ти су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние $z$ урав­не­ния (1), при­над­ле­жа­щее за­дан­но­му ком­пак­ту $M$. В этом слу­чае опе­ра­тор $A^{–1}$ не­пре­ры­вен на мно­же­ст­ве $M$ и ес­ли вме­сто эле­мен­та $u$ из­вес­тен эле­мент $u_δ$ та­кой, что $r_U(u_δ, u)⩽δ$ и $u_δ∈AM$, то в ка­че­ст­ве при­бли­жен­но­го ре­ше­ния урав­не­ния (1) с пра­вой ча­стью $u=u_δ$ мож­но брать эле­мент $z_δ=A^{–1}u_δ$. При этом $z_δ→z$, ес­ли $δ→0$.

Во мно­гих слу­ча­ях при­бли­жен­но из­вест­ная часть $\tilde u$ урав­не­ния (2) не при­над­ле­жит мно­же­ст­ву $AM$. В этих ус­ло­ви­ях урав­не­ние (2) не име­ет клас­сич. ре­ше­ния и в ка­че­ст­ве его при­бли­жен­но­го ре­ше­ния бе­рёт­ся обоб­щён­ное ре­ше­ние, на­зы­вае­мое ква­зи­ре­ше­ни­ем. Эле­мент $\tilde z∈М$, ми­ни­ми­зи­рую­щий при дан­ном $\tilde u$ функ­ци­о­нал $ρ_U(Az, \tilde u)$ на мно­же­ст­ве $M$, на­зы­ва­ет­ся ква­зи­ре­ше­ни­ем урав­не­ния (2) на $M$. Ес­ли $M$ – ком­пакт, то ква­зи­ре­шение су­ще­ст­ву­ет для лю­бо­го $\tilde u∈U$, а ес­ли $\tilde u∈AM$, то ква­зи­ре­ше­ние $\tilde z$ сов­па­да­ет с клас­си­че­ским (точ­ным) ре­ше­ни­ем урав­не­ния (2). Су­ще­ст­во­ва­ние ква­зи­ре­ше­ния га­ран­ти­ру­ет­ся лишь при ус­ло­вии ком­пакт­но­сти мно­же­ст­ва $M$ воз­мож­ных ре­ше­ний.

Ме­тод ре­гу­ля­ри­за­ции. Для ря­да при­клад­ных за­дач, при­во­дя­щих к урав­не­нию (1), ха­рак­тер­на си­туа­ция, ко­гда мно­же­ст­во $M$ воз­мож­ных ре­ше­ний не яв­ля­ет­ся ком­пак­том, опе­ра­тор $A^{–1}$ не яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ным на $AM$ и из­ме­не­ния пра­вой час­ти это­го урав­не­ния, свя­зан­ные с её при­бли­жен­ным ха­рак­те­ром, мо­гут вы­во­дить её за пре­де­лы мно­же­ст­ва $AM$. Та­кие за­да­чи на­зы­ва­ют­ся су­ще­ст­вен­но не­кор­рект­ны­ми. Раз­ра­бо­тан под­ход к ре­ше­нию та­ких за­дач, на­зы­вае­мый ме­то­дом ре­гу­ля­ри­за­ции. В даль­ней­шем для про­сто­ты пред­по­ла­га­ет­ся, что при­бли­жен­ной яв­ля­ет­ся лишь пра­вая часть урав­не­ния (1). В ос­но­ве под­хо­да ле­жит по­ня­тие ре­гу­ля­ри­зи­рую­ще­го опе­ра­то­ра. Опе­ра­тор $R(u, α)$ из $U$ в $Z$, за­ви­ся­щий от па­ра­мет­ра $α$, на­зы­ва­ет­ся ре­гу­ля­ри­зи­рую­щим опе­ра­то­ром для урав­не­ния $Az= u$ (в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $u$), ес­ли он об­ла­да­ет свой­ст­ва­ми: 1) су­ще­ст­ву­ет та­кое чис­ло $δ_1>0$, что опе­ра­тор $R(u, α)$ оп­ре­де­лён для лю­бо­го $α>0$ и лю­бо­го $u_δ∈U$, для ко­то­ро­го $ρ_U(u_δ, u)⩽δ⩽δ_1$; 2) су­ще­ст­ву­ет функ­ция $α=α(δ)$ та­кая, что для лю­бо­го $ε> 0$ най­дёт­ся чис­ло $δ(ε)⩽δ_1$ та­кое, что ес­ли $u_δ∈U$ и $ρ_U(u_δ , u)⩽δ (ε )$, то $ρ_Z(z_δ , z)⩽ε$, где $z_δ=R(u_δ , α (δ ))$. В этом оп­ре­де­ле­нии не пред­по­ла­га­ет­ся од­но­знач­но­сти опе­ра­то­ра $R(u, α)$.

Ес­ли $ρ_U(u_δ , u)⩽δ$ , то в ка­че­ст­ве прибли­жен­но­го ре­ше­ния урав­не­ния (1) с пра­вой ча­стью $u_δ$ мож­но брать эле­мент $z_{α(δ)}=R(u_δ, α(δ))$, где $α(δ)$ со­гла­со­ва­но с по­греш­но­стью ис­ход­ных дан­ных $u_δ$. Это ре­ше­ние на­зы­ва­ет­ся ре­гу­ля­ри­зи­ро­ван­ным ре­ше­ни­ем урав­не­ния $Az=u_δ$, а па­ра­метр $α$ на­зы­ва­ет­ся па­ра­мет­ром ре­гу­ля­ри­за­ции. При $δ→0$ ре­гу­ля­ри­зи­ро­ван­ное ре­ше­ние схо­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния (1). Т. о., за­да­ча на­хо­ж­де­ния при­бли­жен­ных ре­ше­ний урав­не­ния (1) сво­дит­ся к на­хо­ж­де­нию ре­гу­ля­ри­зи­рую­ще­го опе­ра­то­ра и к оп­ре­деле­нию па­ра­мет­ра ре­гу­ля­ри­за­ции по до­пол­нит. ин­фор­ма­ции о за­да­че, напр. по оцен­ке по­греш­но­сти $δ$, с ко­то­рой за­да­ёт­ся пра­вая часть (1).

В ос­но­ве по­строе­ния ре­гу­ля­ри­зи­рую­щих опе­ра­то­ров ле­жат разл. прин­ци­пы, сре­ди них – ва­риа­ци­он­ный, при ко­то­ром ис­поль­зу­ет­ся сгла­жи­ваю­щий функ­цио­нал $$M^α(z, A, u)=ρ^2_U(Az, u)+\alpha\Omega(z),$$ где $α>0$ – па­ра­метр ре­гу­ля­ри­за­ции, а $Ω$ – ре­гу­ля­ри­зи­рую­щий функ­цио­нал, пред­на­зна­чен­ный для ста­би­ли­за­ции ре­ше­ния. Он вы­би­ра­ет­ся так, что­бы мно­же­ст­ва $\left \{z: Ω(z)⩽c \right\}$ при всех $с>0$ бы­ли ком­пакт­ны­ми в про­стран­ст­ве $Z$. Ищет­ся эле­мент $z_α$, ми­ни­ми­зи­рую­щий $M^α$ на мно­же­ст­ве воз­мож­ных ре­ше­ний. Па­ра­метр $α$ на­хо­дит­ся по до­пол­нит. ин­фор­ма­ции о за­да­че.