ГИ́ЛЬБЕРТА ПРОБЛЕ́МЫ

ГИ́ЛЬБЕРТА ПРОБЛЕ́МЫ, 23 про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки, сфор­му­ли­ро­ван­ные Д. Гиль­бер­том на 2-м Ме­ж­ду­нар. ма­те­ма­тич. кон­грес­се (Па­риж, 1900). Раз­ви­тие идей, свя­зан­ных с Г. п., со­ста­ви­ло зна­чит. часть дос­ти­же­ний ма­те­ма­ти­ки 20 в.

Г. п. от­но­сят­ся к разл. об­лас­тям ма­те­ма­ти­ки, а не­ко­то­рые – сра­зу к не­сколь­ким. Две Г. п. от­но­сят­ся к ос­но­ва­ни­ям ма­те­ма­ти­ки, три – к ал­геб­ре, пять – к тео­рии чи­сел, три – к гео­мет­рии, од­на – к то­по­ло­гии, шесть – к ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии, три – к груп­пам Ли, две – к ве­ще­ст­вен­но­му и ком­плекс­но­му ана­ли­зу, че­ты­ре – к диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ям, од­на – к ва­риа­ци­он­но­му ис­чис­ле­нию, од­на – к ак­сио­ма­тич. по­строе­нию ря­да фи­зич. дис­ци­п­лин, к ко­то­рым Гиль­берт от­но­сил и тео­рию ве­ро­ят­но­стей.

Поч­ти все Г. п. в той или иной сте­пе­ни по­лу­чи­ли своё ре­ше­ние. Сре­ди наи­бо­лее из­вест­ных Г. п.: свя­зан­ная с кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зой (1-я Г. п.); свя­зан­ная с транс­цен­дент­но­стью не­ко­то­рых чи­сел (7-я Г. п.); свя­зан­ная с дио­фан­то­вы­ми урав­не­ния­ми (10-я Г. п.).

1-я Г. п. со­сто­ит в до­ка­за­тель­ст­ве кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зы, ко­то­рая ут­вер­жда­ет, что с точ­но­стью до эк­ви­ва­лент­но­сти су­ще­ст­ву­ет толь­ко два ти­па бес­ко­неч­ных чи­сло­вых мно­жеств: счёт­ное мно­же­ст­во и кон­ти­ну­ум. Ока­за­лось, что кон­ти­нуум-ги­по­те­зу нель­зя ни до­ка­зать, ни опро­верг­нуть. Это свя­за­но с тем, что ес­ли взять стан­дарт­ную сис­те­му ак­си­ом Цер­ме­ло – Френ­ке­ля ZF с ак­сио­мой вы­бо­ра (т. е. ZFC, см. Ак­сио­ма­ти­че­ская тео­рия мно­жеств) и до­ба­вить к ней в ка­че­ст­ве ещё од­ной ак­сио­мы от­ри­ца­ние кон­ти­нуум-ги­по­те­зы, то, как до­ка­за­но К. Гё­де­лем (1936), по­лу­чит­ся не­про­ти­во­ре­чи­вая сис­те­ма ут­вер­жде­ний при ус­ло­вии, что не­про­ти­во­ре­чи­ва са­ма сис­те­ма ак­си­ом ZF. Как до­ка­за­но П. Ко­эном (1963), ана­ло­гич­ная си­туа­ция по­лу­ча­ет­ся, ес­ли к сис­те­ме ак­си­ом ZFС до­ба­вить в ка­че­ст­ве ак­сио­мы кон­ти­ну­ум-ги­по­те­зу.

7-я Г. п. со­сто­ит в до­ка­за­тель­ст­ве то­го, что чис­ло a^b, где a – по­ло­жи­тель­ное ал­гебра­ич. чис­ло, не рав­ное еди­ни­це, а b – ир­ра­цио­наль­ное ал­геб­ра­ич. чис­ло, яв­ля­ет­ся транс­цен­дент­ным. Спра­вед­ли­вость это­го ут­вер­жде­ния бы­ла ус­та­нов­ле­на од­но­вре­мен­но и не­за­ви­си­мо А. О. Гель­фон­дом и нем. ма­те­ма­ти­ком Т. Шнай­де­ром (1934).

10-я Г. п. со­сто­ит в том, что­бы ука­зать об­щий ал­го­ритм, ко­то­рый за ко­неч­ное чис­ло ша­гов по­зво­ля­ет ус­та­но­вить по ви­ду дио­фан­то­ва урав­не­ния с про­из­воль­ным чис­лом не­из­вест­ных, име­ет оно ре­ше­ние в це­лых чис­лах или нет. В 1970 рос. ма­те­ма­тик Ю. В. Ма­тия­се­вич до­ка­зал, что та­ко­го ал­го­рит­ма не су­ще­ст­ву­ет.

Соз­да­ние А. Н. Кол­мо­го­ро­вым ак­сио­ма­тич. тео­рии ве­ро­ят­но­стей (1933) ино­гда свя­зы­ва­ют с ре­ше­ни­ем 6-й про­бле­мы Гиль­бер­та.