ГИ́ЛЬБЕРТА ПРОБЛЕ́МЫ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГИ́ЛЬБЕРТА ПРОБЛЕ́МЫ, 23 проблемы математики, сформулированные Д. Гильбертом на 2-м Междунар. математич. конгрессе (Париж, 1900). Развитие идей, связанных с Г. п., составило значит. часть достижений математики 20 в.
Г. п. относятся к разл. областям математики, а некоторые – сразу к нескольким. Две Г. п. относятся к основаниям математики, три – к алгебре, пять – к теории чисел, три – к геометрии, одна – к топологии, шесть – к алгебраич. геометрии, три – к группам Ли, две – к вещественному и комплексному анализу, четыре – к дифференциальным уравнениям, одна – к вариационному исчислению, одна – к аксиоматич. построению ряда физич. дисциплин, к которым Гильберт относил и теорию вероятностей.
Почти все Г. п. в той или иной степени получили своё решение. Среди наиболее известных Г. п.: связанная с континуум-гипотезой (1-я Г. п.); связанная с трансцендентностью некоторых чисел (7-я Г. п.); связанная с диофантовыми уравнениями (10-я Г. п.).
1-я Г. п. состоит в доказательстве континуум-гипотезы, которая утверждает, что с точностью до эквивалентности существует только два типа бесконечных числовых множеств: счётное множество и континуум. Оказалось, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Это связано с тем, что если взять стандартную систему аксиом Цермело – Френкеля ZF с аксиомой выбора (т. е. ZFC, см. Аксиоматическая теория множеств) и добавить к ней в качестве ещё одной аксиомы отрицание континуум-гипотезы, то, как доказано К. Гёделем (1936), получится непротиворечивая система утверждений при условии, что непротиворечива сама система аксиом ZF. Как доказано П. Коэном (1963), аналогичная ситуация получается, если к системе аксиом ZFС добавить в качестве аксиомы континуум-гипотезу.
7-я Г. п. состоит в доказательстве того, что число ab, где a – положительное алгебраич. число, не равное единице, а b – иррациональное алгебраич. число, является трансцендентным. Справедливость этого утверждения была установлена одновременно и независимо А. О. Гельфондом и нем. математиком Т. Шнайдером (1934).
10-я Г. п. состоит в том, чтобы указать общий алгоритм, который за конечное число шагов позволяет установить по виду диофантова уравнения с произвольным числом неизвестных, имеет оно решение в целых числах или нет. В 1970 рос. математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого алгоритма не существует.
Создание А. Н. Колмогоровым аксиоматич. теории вероятностей (1933) иногда связывают с решением 6-й проблемы Гильберта.