ДИОФА́НТОВЫ УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДИОФА́НТОВЫ УРАВНЕ́НИЯ, алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с целыми коэффициентами относительно неизвестных, принимающих целые или рациональные значения. Названы по имени Диофанта, изучавшего такие уравнения. Число неизвестных в Д. у. превосходит число уравнений, поэтому их обычно называют неопределёнными. Простейшее Д. у. – уравнение $ax+by=1$, где $a$ и $b$ – целые взаимно простые числа. Такое Д. у. имеет бесконечное множество решений: если $(x_0, y_0)$ – одно решение, то пары $(x, y)$, где $x=x_0+b_n, y=y_0-a_n, n$ – любое целое число, также являются решениями, которыми и исчерпывается вся совокупность решений.
Др. типом Д. у. являются уравнения 2-й степени
$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,$$
где $a, b, c, d, e, f$ – целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений. Примером может служить уравнение Пелля $x^2-dy^2=1$, где $d$ – натуральное число, не являющееся полным квадратом. Это уравнение имеет бесконечное число решений, которые можно выписать в явном виде.
Изучались Д. у. вида
$$a_0x^n+a_1x^{n–1}y+…+a_ny^n=0,$$
где $n, a_0,a_1,...,a_n$ – целые числа, $n⩾3$. Если многочлен $a_0t^n+a_1t^{n–1}+…+a_n$ неприводим в поле рациональных чисел, т. е. не разлагается на множители в этом поле, то соответствующее уравнение не может иметь бесконечно много решений.
Известной задачей теории Д. у. является Ферма Великая теорема – гипотеза об отсутствии при целых $n⩾3$ нетривиальных целых решений Д. у.
$$x^n+y^n=z^n.\quad(1)$$
Доказательство этого утверждения для $n= 4$ получено Л. Эйлером. Этот результат сводит общий случай к доказательству отсутствия нетривиальных целых решений уравнения (1) при простом $n⩾3$. Великая теорема Ферма была доказана англ. математиком Э. Уайлсом (1995). Задачи о целых или рациональных точках на алгебраич. многообразиях составляют предмет т. н. диофантовой геометрии.