МОДЕЛИ́РОВАНИЕ МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЕ

МОДЕЛИ́РОВАНИЕ МАТЕМАТИ́ЧЕ­СКОЕ, за­ме­на ис­ход­но­го объ­ек­та его ма­те­ма­тич. мо­де­лью и даль­ней­шее изу­че­ние мо­де­ли на ком­пь­ю­те­рах с по­мо­щью вы­чис­ли­тель­ных ал­го­рит­мов. На­ря­ду с тео­ри­ей и экс­пе­ри­мен­том, М. м. слу­жит од­ним из осн. средств по­зна­ния и про­гно­зи­ро­ва­ния, про­ек­ти­ро­ва­ния и кон­ст­руи­ро­ва­ния. М. м. ин­тен­сив­но раз­ви­ва­ет­ся и ох­ва­ты­ва­ет всё но­вые сфе­ры – от раз­ра­бот­ки тех­нич. сис­тем и управ­ле­ния ими до ана­ли­за слож­ных при­род­ных, эко­но­мич. и со­ци­аль­ных про­цес­сов (см., напр., Мо­де­ли­ро­ва­ние в эко­но­ми­ке). Бы­строе раз­ви­тие и ак­тив­ное при­ме­не­ние М. м. обу­слов­ле­но со­еди­не­ни­ем в нём мн. дос­то­инств как тео­ре­тич., так и экс­пе­рим. ме­то­дов. Ра­бо­та не с са­мим объ­ек­том (яв­ле­ни­ем, про­цес­сом), а с его мо­де­лью да­ёт воз­мож­ность от­но­си­тель­но бы­ст­ро, с не­боль­ши­ми за­тра­та­ми и без вме­ша­тель­ст­ва в объ­ект (яв­ле­ние, про­цесс) ис­сле­до­вать его в лю­бых воз­мож­ных си­туа­ци­ях. С др. сто­ро­ны, вы­чис­ли­тель­ный экс­пе­ри­мент по­зво­ля­ет изу­чать объ­ек­ты с пол­но­той, час­то не­дос­туп­ной тео­ре­тич. под­хо­дам. В си­лу это­го М. м. пред­став­ля­ет со­бой уни­вер­саль­ную меж­дис­ци­п­ли­нар­ную ме­то­до­ло­гию, син­те­зи­рую­щую дос­ти­же­ния са­мых раз­ных на­ук и даю­щую до­пол­нит. сти­му­лы их раз­ви­тию.

М. м. со­сто­ит в по­сле­до­ва­тель­ной реа­ли­за­ции триа­ды «мо­дель – ал­го­ритм – про­грам­ма».

На 1-м эта­пе стро­ит­ся мо­дель объ­ек­та, вы­ра­жаю­щая в ма­те­ма­тич. фор­ме важ­ней­шие его свой­ст­ва и свя­зи, при­су­щие со­став­ляю­щим его час­тям, за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми, опи­сы­ваю­щи­ми его по­ве­де­ние. Ма­те­ма­тич. мо­дель или её фраг­мен­ты ис­сле­ду­ют­ся все­ми дос­туп­ны­ми тео­ре­тич. ме­то­да­ми с це­лью по­лу­че­ния пред­ва­рит. зна­ний об объ­ек­те. Ме­то­ды по­строе­ния мо­де­лей ос­но­вы­ва­ют­ся на ис­поль­зо­ва­нии фун­дам. за­ко­нов при­ро­ды, ва­риа­ци­он­ных прин­ци­пов, на при­ме­не­нии ие­рар­хич. под­хо­дов, т. е. на пе­ре­хо­де от эле­мен­тар­ных мо­де­лей к слож­ным (путь «от ча­ст­но­го – к об­ще­му»), ли­бо на де­ком­по­зи­ции слож­ных мо­де­лей (путь «от об­ще­го – к ча­ст­но­му»). Ис­поль­зу­ют­ся так­же ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний за объ­ек­том, эв­ри­стич. ги­по­те­зы, опи­сы­ваю­щие по­ве­де­ние объ­ек­та. Гл. тре­бо­ва­ние к мо­де­лям – их аде­к­ват­ность, т. е. их со­от­вет­ст­вие наи­бо­лее важ­ным свой­ст­вам объ­ек­та.

Мо­де­ли ус­лов­но де­лят­ся на 3 клас­са – тра­ди­ци­он­ные, или соб­ст­вен­но ма­те­ма­ти­че­ские, мо­де­ли и ими­та­ци­он­ные (си­му­ля­ци­он­ные) мо­де­ли, ко­то­рые ос­но­вы­ва­ют­ся, напр., на ма­те­ма­тич. опи­са­нии взаи­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду эле­мен­та­ми, со­став­ляю­щи­ми объ­ект; тре­тий класс – сме­шан­ные мо­де­ли, со­че­таю­щие в се­бе эле­мен­ты пер­вых двух клас­сов. Мо­де­ли под­раз­де­ля­ют­ся так­же на ста­ти­че­ские и ди­на­ми­че­ские, ста­цио­нар­ные и не­ста­цио­нар­ные, ли­ней­ные и не­ли­ней­ные, де­тер­ми­ни­ро­ван­ные и ве­ро­ят­но­ст­ные, од­но­мер­ные и мно­го­мер­ные, оп­ти­ми­за­ци­он­ные и управ­лен­че­ские и пр.

На 2-м эта­пе М. м. раз­ра­ба­ты­ва­ет­ся ал­го­ритм, по­зво­ляю­щий реа­ли­зо­вать мо­дель на ком­пь­ю­те­ре. Та­кие ал­го­рит­мы за­час­тую стро­ят­ся как дис­крет­ные ана­ло­ги ис­ход­ных мо­де­лей и долж­ны быть аде­к­ват­ны им. Их по­строе­ние от­кры­ва­ет воз­мож­ность для про­ве­де­ния вы­чис­ле­ний. Вы­чис­лит. ал­го­рит­мы долж­ны быть ус­той­чи­вы­ми, точ­ны­ми и эко­но­мич­ны­ми, а так­же долж­ны со­от­вет­ст­во­вать спе­ци­фи­ке ар­хи­тек­ту­ры совр. ком­пь­ю­те­ров.

На 3-м эта­пе соз­да­ёт­ся про­грам­ма (ком­плек­сы про­грамм, па­ке­ты про­грамм), слу­жа­щая «элек­трон­ным» ана­ло­гом ис­ход­но­го объ­ек­та, с ко­то­рым про­во­дят­ся вы­чис­лит. экс­пе­ри­мен­ты на ком­пь­ю­те­ре, даю­щие пол­ную и под­роб­ную кар­ти­ну по­ве­де­ния объ­ек­та в разл. си­туа­ци­ях.

Ино­гда эф­фек­тив­но­му при­ме­не­нию ме­то­до­ло­гии М. м. пре­пят­ст­вуют не­воз­мож­ность по­стро­ить аде­к­ват­ную мо­дель объ­ек­та (не­дос­та­ток зна­ний о нём, осо­бен­но в гу­ма­ни­тар­ных нау­ках, от­сут­ст­вие со­от­вет­ст­вую­щих фи­зич., эко­но­мич., со­цио­ло­ги­че­ских и пр. дан­ных), слож­ность ал­го­рит­ми­за­ции мо­де­лей, не­дос­та­точ­ные мощ­но­сти ком­пь­ю­те­ров для про­ве­де­ния не­ко­то­рых ви­дов сверх­слож­ных вы­чис­ле­ний.

По­яв­ле­ние но­вей­ших вы­со­ко­про­из­во­ди­тель­ных вы­чис­лит. средств и тех­но­ло­гий соз­да­ния эф­фек­тив­ных тер­ри­то­ри­аль­но-рас­пре­де­лён­ных ге­те­ро­ген­ных (т. е. объ­е­ди­няю­щих ком­пь­ю­те­ры с са­мы­ми разл. ап­па­рат­ны­ми и про­грамм­ны­ми сис­те­ма­ми) се­тей (т. н. GRID-тех­но­ло­гий) от­кры­ва­ет но­вые пер­спек­ти­вы для М. м., для реа­ли­за­ции всё бо­лее слож­ных ма­те­ма­тич. мо­де­лей, аде­к­ват­но опи­сы­ваю­щих всё бо­лее слож­ные ре­аль­ные про­цес­сы. Это, в свою оче­редь, яв­ля­ет­ся мощ­ным сти­му­лом для раз­ви­тия ин­ду­ст­рии, ори­ен­ти­ро­ван­ной на соз­да­ние па­ке­тов при­клад­ных про­грамм.

Раз­ви­тие М. м. в на­шей стра­не на­ча­лось с тру­дов М. В. Кел­ды­ша, А. Н. Ти­хо­но­ва, А. А. До­род­ни­цы­на. Наи­бо­лее пол­но кон­цеп­ция М. м., вклю­чая триа­ду «мо­дель – ал­го­ритм – про­грам­ма», обос­но­ва­на в ра­бо­тах А. А. Са­мар­ско­го и его на­уч. шко­лы. Боль­шой вклад в М. м. вне­сли О. М. Бе­ло­цер­ков­ский, С. К. Го­ду­нов, П. С. Крас­но­щёков, Г. И. Мар­чук, Н. Н. Мои­се­ев, А. А. Пет­ров, В. А. Са­дов­ни­чий и др. отеч. учё­ные.