МИНИМА́ЛЬНАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ

МИНИМА́ЛЬНАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, по­верх­ность, у ко­то­рой сред­няя кри­виз­на во всех точ­ках рав­на ну­лю. По­ня­тие М. п. воз­ник­ло при ре­ше­нии сле­дую­щей ва­риа­ци­он­ной за­да­чи: в про­стран­ст­ве да­на не­ко­то­рая замк­ну­тая кри­вая; сре­ди всех воз­мож­ных по­верх­но­стей, про­хо­дя­щих че­рез эту кри­вую, най­ти та­кую, для ко­то­рой часть её, за­клю­чён­ная внут­ри кри­вой, име­ет наи­мень­шую пло­щадь (ми­ним. пло­щадь – от­сю­да на­зва­ние М. п.). Ес­ли за­дан­ная кри­вая пло­ская, то ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся ог­ра­ни­чен­ная этой кри­вой часть плос­ко­сти. В слу­чае не­пло­ской кри­вой не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие, ко­то­ро­му долж­на удов­ле­тво­рять по­верх­ность с ми­ним. пло­ща­дью, ус­та­нов­ле­но Ж. Ла­гран­жем (1760). Не­сколь­ко позд­нее Ж. Мё­нье пред­ло­жил гео­мет­рич. опи­са­ние это­го ус­ло­вия в фор­ме, эк­ви­ва­лент­ной тре­бо­ва­нию об­ра­ще­ния в нуль сред­ней кри­виз­ны. Хо­тя это ус­ло­вие не яв­ля­ет­ся дос­та­точ­ным, т. е. не га­ран­ти­ру­ет ми­ни­мум пло­ща­ди, назв. «М. п.» со­хра­ня­ет­ся для вся­кой по­верх­но­сти с ну­ле­вой сред­ней кри­виз­ной. Ес­ли по­верх­ность за­да­на урав­не­ни­ем $z=f(x,y)$, то, при­рав­ни­вая к ну­лю вы­ра­же­ние для сред­ней кри­виз­ны, при­хо­дят к диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми 2-го по­ряд­ка $(1+q^2)r-2pqs+(1+p^2)t=0$, где $p=\partial z/\partial x, q=\partial z/\partial y, r=\partial^2z/\partial x^2, s=\partial^2z/\partial x\partial y, t=\partial^2z/\partial y^2$. Ис­сле­до­ва­ни­ем это­го урав­не­ния в разл. фор­мах за­ни­ма­лись мн. ма­те­ма­ти­ки, на­чи­ная с Ла­гран­жа и Г. Мон­жа. При­ме­ра­ми М. п. слу­жат вин­то­вая по­верх­ность; ка­те­но­ид – един­ст­вен­ная (ве­ще­ст­вен­ная) М. п. сре­ди по­верх­но­стей вра­ще­ния; по­верх­ность Шер­ка, оп­ре­де­ляе­мая урав­не­ни­ем

.

М. п. име­ет во всех точ­ках не­по­ло­жи­тель­ную пол­ную кри­виз­ну. Бельг. фи­зик Ж. Пла­то пред­ло­жил спо­соб мо­де­ли­ро­ва­ния М. п. при по­мо­щи мыль­ных плёнок, на­тя­ну­тых на про­во­лоч­ный кар­кас.