МИНИМА́ЛЬНАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
МИНИМА́ЛЬНАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, поверхность, у которой средняя кривизна во всех точках равна нулю. Понятие М. п. возникло при решении следующей вариационной задачи: в пространстве дана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имеет наименьшую площадь (миним. площадь – отсюда название М. п.). Если заданная кривая плоская, то решением является ограниченная этой кривой часть плоскости. В случае неплоской кривой необходимое условие, которому должна удовлетворять поверхность с миним. площадью, установлено Ж. Лагранжем (1760). Несколько позднее Ж. Мёнье предложил геометрич. описание этого условия в форме, эквивалентной требованию обращения в нуль средней кривизны. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует минимум площади, назв. «М. п.» сохраняется для всякой поверхности с нулевой средней кривизной. Если поверхность задана уравнением z=f(x,y), то, приравнивая к нулю выражение для средней кривизны, приходят к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка (1+q2)r−2pqs+(1+p2)t=0, где p=∂z/∂x,q=∂z/∂y,r=∂2z/∂x2,s=∂2z/∂x∂y,t=∂2z/∂y2. Исследованием этого уравнения в разл. формах занимались мн. математики, начиная с Лагранжа и Г. Монжа. Примерами М. п. служат винтовая поверхность; катеноид – единственная (вещественная) М. п. среди поверхностей вращения; поверхность Шерка, определяемая уравнением
.
М. п. имеет во всех точках неположительную полную кривизну. Бельг. физик Ж. Плато предложил способ моделирования М. п. при помощи мыльных плёнок, натянутых на проволочный каркас.