КРИВИЗНА́
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КРИВИЗНА́, величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) от прямой (плоскости). Отклонение дуги MM′ кривой $L$ от касательной $MT$ в точке $M$ (рис.) можно охарактеризовать с помощью т. н. средней К. $k_{cp}$ этой дуги, равной отношению $α/Δs$ величины α угла между касательными в точках $M$ и $M'$ к длине $Δs$ дуги $MM'$. Для дуги окружности средняя К. в каждой точке равна величине, обратной радиусу этой окружности, и характеризует степень искривлённости окружности: с уменьшением радиуса увеличивается искривлённость дуги. Предельное значение средней К. при стремлении точки $M'$ к точке $M$, т. е. при $Δs→ 0$, называется К. $k$ кривой $L$ в точке $M$: $$k=\lim_{M'\to M}k_{ср}=\lim_{\Delta s \to 0}\frac {\alpha}{\Delta s}.$$Величину $R=1/k$, обратную К., обычно называют радиусом К. кривой $L$ в точке $M$.
Если кривая $L$ является графиком функции $у=f(x)$, то К. $k$ этой кривой в точке $x$ может быть вычислена по формуле $$k=\frac{|f''(x)|}{(1+f'^2(x))^{3/2}}.$$К. $k$ кривой $L$ представляет собой, вообще говоря, функцию длины дуги $s$, отсчитываемой от некоторой точки $M$ этой кривой. Если для двух плоских кривых $L_1$ и $L_2$ К. как функции длины дуги одинаковы, то кривые $L_1$ и $L_2$ конгруэнтны, т. е. они могут быть совмещены движением. Уравнение, задающее плоскую кривую с помощью К. $k$ как функцию длины дуги, обычно называется натуральным уравнением этой кривой.
Для характеристики отклонения пространственной кривой $L$ от плоскости вводят понятие кручения. К. и кручение, заданные как функции длины дуги, определяют кривую $L$ с точностью до положения в пространстве.
Описание отклонения поверхности от плоскости может быть проведено следующим образом. Через нормаль в данной точке $M$ поверхности проводят всевозможные плоскости. Сечения поверхности этими плоскостями называют нормальными сечениями, а К. нормальных сечений в точке $M$ – нормальными К. поверхности в этой точке. Максимальная и минимальная из нормальных К. в данной точке $M$ называются главными К. Величины $K=k_1k_2$ и $Н=(k_1+k_2)/2$, где $k_1$ и $k_2$ – главные К., называются соответственно гауссовой К. и средней К. поверхности в точке $M$. Эти К. поверхности определяют нормальные К., поэтому они могут служить характеристиками отклонения поверхности от плоскости. В частности, если $K=0$ и $H=0$ во всех точках поверхности, то она является плоскостью.
Гауссова К. не меняется при изгибаниях поверхности. Если, напр., гауссова К. равна нулю во всех точках поверхности, то каждый достаточно малый её кусок может быть изгибанием сделан плоским. Гауссова К. на поверхности без обращения к объемлющему пространству составляет объект т. н. внутренней геометрии поверхности. Средняя К. связана с внешней формой поверхности.
Понятие К. обобщается на объекты более общей природы. Напр., оно возникает в т. н. римановых пространствах (см. Риманова геометрия), представляя собой меру отклонения этих пространств от евклидовых.
