МА́ЛЫЕ ВЫ́БОРКИ

МА́ЛЫЕ ВЫ́БОРКИ, ста­ти­стич. вы­бор­ки ма­ло­го объ­ё­ма $n$ та­кие, что к ним нель­зя при­ме­нять фор­му­лы, спра­вед­ли­вые лишь при $n→∞$. Осо­бен­но­сти ста­ти­стич. оце­ни­ва­ния па­ра­мет­ров по М. в. мож­но по­нять на при­ме­ре нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния

(с па­ра­мет­ра­ми $a$ и $σ^2$), для ко­то­ро­го ма­лы­ми обыч­но счи­та­ют вы­бор­ки объ­ё­ма $n\leqslant 30$. Пусть по вы­бор­ке $X_1, X_2, ..., X_n$ из нор­маль­ной со­во­куп­но­сти не­об­хо­ди­мо оце­нить её сред­нее зна­че­ние $a$, при­чём дис­пер­сия $σ^2$ не­из­вест­на. Для это­го вво­дят­ся ста­ти­сти­ки (функ­ции от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний) $$\overline X=\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}X_k,\\ s^2=\frac{1}{n-1}\sum^n_{k=1}(X_k-\overline X)^2$$

и при оцен­ке $a$ ис­поль­зу­ет­ся то, что рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей ве­ли­чи­ны $$t=\sqrt n(\overline X -a)/s$$ не за­ви­сит от $a$ и $σ$. Ве­ро­ят­ность $ω$ не­равен­ст­ва $–t_ω\lt t \lt t_ω$ и рав­но­силь­но­го ему не­ра­вен­ст­ва $$\overline X-t_ωs/\sqrt n \lt a \lt \overline X+t_ωs/\sqrt n\tag1$$ вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$ω=\int^{t_ω}_{-t_ω}s_{n-1}(t)dt,\tag2$$ где $s_{n-1}(t)$ есть плот­ность ве­ро­ят­но­сти Стью­ден­та рас­пре­де­ле­ния

 >>

с $n-1$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды. Оп­ре­де­ляя для за­дан­ных $n$ и $ω$, $0\lt ω \lt 1$, со­от­вет­ст­вую­щее $t_ω$, по­лу­ча­ют пра­ви­ло (1) на­хо­ж­де­ния до­ве­ри­тель­ных гра­ниц для ве­ли­чи­ны $a$, имею­щих зна­чи­мо­сти уро­вень

 >>

 $ω$.

При боль­ших $n$ фор­му­ла (2), свя­зы­ваю­щая $ω$ и $t_ω$, мо­жет быть за­ме­не­на при­бли­жён­ной фор­му­лой $$ω=\int_{-t_ω}^{t_ω}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-t^2/2}dt,\tag3$$ где по­дын­те­граль­ное вы­ра­же­ние есть плот­ность стан­дарт­но­го нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния, ко­то­рое яв­ля­ет­ся пре­дель­ным при $n→∞$ для упо­мя­ну­тых рас­пре­де­ле­ний Стью­ден­та. Эту фор­му­лу ино­гда не­пра­виль­но при­ме­ня­ют для оп­ре­де­ле­ния $t_ω$ при не­боль­ших $n$, что при­во­дит к су­ще­ст­вен­ным ошиб­кам. Так, для $ω=0,99$ из фор­му­лы (3) сле­ду­ет, что $t_{0,99}=2,58$; ис­тин­ные зна­че­ния $t_{0,99}$ для ма­лых $n$ при­ве­де­ны в сле­дую­щей таб­ли­це:

Ес­ли поль­зо­вать­ся фор­му­лой (3) при $n=5$, то по­лу­чит­ся, что не­ра­вен­ст­во $$\left| \overline X-a\right|\leqslant 2,58\frac{s}{\sqrt5}$$ вы­пол­ня­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 0,99. В дей­ст­ви­тель­но­сти при $n=5$ ве­ро­ят­ность это­го не­ра­вен­ст­ва рав­на 0,94, а ве­ро­ят­ность 0,99 име­ет, в со­от­вет­ст­вии с при­ве­дён­ной таб­ли­цей, не­ра­вен­ст­во  $$\left| \overline X-a\right|\leqslant 4,60\frac{s}{\sqrt5}.$$

Об оцен­ке тео­ре­тич. дис­пер­сии $σ^2$ по М. в. см. Хи-квад­рат рас­пре­де­ле­ние

. Раз­ра­бо­та­ны так­же ме­то­ды оцен­ки по М. в. па­ра­мет­ров мно­го­мер­ных рас­пре­де­ле­ний (напр., ко­эф­фи­ци­ен­та кор­ре­ля­ции).