ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ, формулы интегрального исчисления функций мн. переменных, связывающие интегралы по области и по границе этой области. Простейшая Г. ф. выражает двойной интеграл по области G через криволинейный интеграл по границе C области G и имеет вид∬G(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫CPdx+Qdy,где функции P и Q интегрируемы вместе со своими производными ∂Q/∂x, ∂P/∂y, ориентация на C задаётся обходом против часовой стрелки. Эта формула была известна ещё Л. Эйлеру (1771). Две следующие Г. ф. впервые опубликованы Дж. Грином в 1828 в связи с исследованиями по теории потенциала: при достаточно широких условиях на функции u и v∭G(∂u∂x∂v∂x+∂u∂y∂v∂y+∂u∂z∂v∂z)dxdydz=∬Sv∂u∂ndσ−∭GvΔudxdydz (т. н. первая или предварительная Г. ф.) и ∭G(uΔv−vΔu)dxdydz=∬S(u∂v∂n−v∂u∂n)dσ(т. н. вторая Г. ф.). Здесь G – область трёхмерного пространства, поверхность S – граница этой области,Δ=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2– оператор Лапласа, ∂u/∂n, ∂v/∂n – производные по направлению внешней нормали к S, dσ – элемент поверхности S, интеграл берётся по внешней стороне S. См. также Остроградского формула, Стокса формула.