ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ

ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ, фор­му­лы ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния функ­ций мн. пе­ре­мен­ных, свя­зы­ваю­щие ин­те­гра­лы по об­лас­ти и по гра­ни­це этой об­лас­ти. Про­стей­шая Г. ф. вы­ра­жа­ет двой­ной ин­те­грал по об­лас­ти $G$ че­рез кри­во­ли­ней­ный ин­те­грал по гра­ни­це $C$ об­лас­ти $G$ и име­ет вид$$\iint_G \left(\frac {\partial Q}{\partial x}-\frac {\partial P}{\partial y}\right) dxdy=\int_CPdx+Qdy,$$где функ­ции $P$ и $Q$ ин­тег­ри­руе­мы вме­сте со свои­ми про­из­вод­ны­ми ${\partial Q}/{\partial x}$, $\partial P/\partial y$, ори­ен­та­ция на $C$ за­да­ёт­ся об­хо­дом про­тив ча­со­вой стрел­ки. Эта фор­му­ла бы­ла из­вест­на ещё Л. Эй­ле­ру (1771). Две сле­дую­щие Г. ф. впер­вые опуб­ли­ко­ва­ны Дж. Гри­ном в 1828 в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми по тео­рии по­тен­циа­ла: при дос­та­точ­но ши­ро­ких ус­ло­ви­ях на функ­ции $u$ и $v$$$\iiint_G\left(\frac {\partial u}{\partial x}\frac {\partial v}{\partial x}+\frac {\partial u}{\partial y}\frac {\partial v}{\partial y}+\frac {\partial u}{\partial z}\frac {\partial v}{\partial z}\right)dxdydz=\iint_Sv\frac{\partial u}{\partial n}d\sigma-\iiint_Gv\Delta udxdydz$$ (т. н. пер­вая или пред­ва­ри­тель­ная Г. ф.) и $$\iiint_G(u\Delta v-v\Delta u)dxdydz=\iint_S\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)d\sigma$$(т. н. вто­рая Г. ф.). Здесь $G$ – об­ласть трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва, по­верх­ность $S$ – гра­ни­ца этой об­лас­ти,$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$– опе­ра­тор Ла­п­ла­са, $\partial u/\partial n$, $\partial v/\partial n$ – про­из­вод­ные по на­прав­ле­нию внеш­ней нор­ма­ли к $S$, $d\sigma$ – эле­мент по­верх­но­сти $S$, ин­те­грал бе­рёт­ся по внеш­ней сто­ро­не $S$. См. так­же Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла, Сто­кса фор­му­ла.