Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 8. Москва, 2007, стр. 14

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ, фор­му­лы ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния функ­ций мн. пе­ре­мен­ных, свя­зы­ваю­щие ин­те­гра­лы по об­лас­ти и по гра­ни­це этой об­лас­ти. Про­стей­шая Г. ф. вы­ра­жа­ет двой­ной ин­те­грал по об­лас­ти G че­рез кри­во­ли­ней­ный ин­те­грал по гра­ни­це C об­лас­ти G и име­ет видгде функ­ции P и Q ин­тег­ри­руе­мы вме­сте со свои­ми про­из­вод­ны­ми {\partial Q}/{\partial x}, \partial P/\partial y, ори­ен­та­ция на C за­да­ёт­ся об­хо­дом про­тив ча­со­вой стрел­ки. Эта фор­му­ла бы­ла из­вест­на ещё Л. Эй­ле­ру

 >>
(1771). Две сле­дую­щие Г. ф. впер­вые опуб­ли­ко­ва­ны Дж. Гри­ном
 >>
в 1828 в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми по тео­рии по­тен­циа­ла: при дос­та­точ­но ши­ро­ких ус­ло­ви­ях на функ­ции u и v\iiint_G\left(\frac {\partial u}{\partial x}\frac {\partial v}{\partial x}+\frac {\partial u}{\partial y}\frac {\partial v}{\partial y}+\frac {\partial u}{\partial z}\frac {\partial v}{\partial z}\right)dxdydz=\iint_Sv\frac{\partial u}{\partial n}d\sigma-\iiint_Gv\Delta udxdydz (т. н. пер­вая или пред­ва­ри­тель­ная Г. ф.) и \iiint_G(u\Delta v-v\Delta u)dxdydz=\iint_S\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)d\sigma(т. н. вто­рая Г. ф.). Здесь G – об­ласть трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва, по­верх­ность S – гра­ни­ца этой об­лас­ти,\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}– опе­ра­тор Ла­п­ла­са, \partial u/\partial n, \partial v/\partial n – про­из­вод­ные по на­прав­ле­нию внеш­ней нор­ма­ли к S, d\sigma – эле­мент по­верх­но­сти S, ин­те­грал бе­рёт­ся по внеш­ней сто­ро­не S. См. так­же Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла
 >>
, Сто­кса фор­му­ла
 >>
.

Вернуться к началу