ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ГРИ́НА ФО́РМУЛЫ, формулы интегрального исчисления функций мн. переменных, связывающие интегралы по области и по границе этой области. Простейшая Г. ф. выражает двойной интеграл по области G через криволинейный интеграл по границе C области G и имеет вид∬где функции P и Q интегрируемы вместе со своими производными {\partial Q}/{\partial x}, \partial P/\partial y, ориентация на C задаётся обходом против часовой стрелки. Эта формула была известна ещё Л. Эйлеру (1771). Две следующие Г. ф. впервые опубликованы Дж. Грином в 1828 в связи с исследованиями по теории потенциала: при достаточно широких условиях на функции u и v\iiint_G\left(\frac {\partial u}{\partial x}\frac {\partial v}{\partial x}+\frac {\partial u}{\partial y}\frac {\partial v}{\partial y}+\frac {\partial u}{\partial z}\frac {\partial v}{\partial z}\right)dxdydz=\iint_Sv\frac{\partial u}{\partial n}d\sigma-\iiint_Gv\Delta udxdydz (т. н. первая или предварительная Г. ф.) и \iiint_G(u\Delta v-v\Delta u)dxdydz=\iint_S\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)d\sigma(т. н. вторая Г. ф.). Здесь G – область трёхмерного пространства, поверхность S – граница этой области,\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}– оператор Лапласа, \partial u/\partial n, \partial v/\partial n – производные по направлению внешней нормали к S, d\sigma – элемент поверхности S, интеграл берётся по внешней стороне S. См. также Остроградского формула, Стокса формула.