БЕ́ССЕЛЯ ФУ́НКЦИИ

БЕ́ССЕЛЯ ФУ́НКЦИИ, цилиндрические функции 1-го ро­да; ис­поль­зу­ют­ся при изу­че­нии фи­зич. про­цес­сов (те­п­ло­про­вод­но­сти, диф­фу­зии, ко­ле­ба­ний и пр.), рас­смат­ри­вае­мых в об­лас­тях с кру­го­вой и ци­лин­д­рич. сим­мет­ри­ей. Б. ф. яв­ля­ют­ся ре­ше­ния­ми Бес­се­ля урав­не­ния.

Б. ф. $J_p$ по­ряд­ка (ин­дек­са) $p, -∞{<}p{<}∞,$ пред­став­ля­ет­ся схо­дя­щим­ся при всех $x$ ря­дом $$J_p(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k! Γ (k+p+1)}\left ( \frac x2 \right ) ^{p+2k},$$ где $Γ$ – гам­ма-функ­ция. Гра­фик $J_p(x)$ при $x{>}0$ пред­став­ля­ет со­бой кри­вую с за­ту­хаю­щи­ми ко­ле­ба­ния­ми; $J_p(x)$ име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ну­лей; пер­вые сла­гае­мые ря­да да­ют асим­пто­ти­ку $J_p(x)$ при ма­лых $|x|$, при боль­ших $x>0$ спра­вед­ли­во асим­пто­тич. пред­став­ле­ние $$J_p(x)∼\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left ( x- \frac \pi 2p - \frac \pi 4 \right ).$$

Б. ф. по­ряд­ка $p=n+^1{/}_2$, где $n$ – це­лое чис­ло, вы­ра­жа­ют­ся че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции; в ча­ст­но­сти, $$J_{^1/_2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x, \ J_{-^1/_2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x. $$

Б. ф. $J_p \left ( \frac {\mu_n^p}{l}x \right )$, где $\frac {\mu_n^p}{l}$ – по­ло­жи­тельные кор­ни урав­не­ния $J_p(x)= 0, p>-^1/_2, l$ – не­ко­то­рое по­ло­жи­тель­ное чис­ло, об­ра­зу­ют ор­то­го­наль­ную с ве­сом $x$ сис­те­му на ин­тер­ва­ле $(0, l)$.

Функ­ция $J_0$ бы­ла впер­вые ис­сле­до­вана Д. Бер­нул­ли в ра­бо­те, по­свя­щён­ной ко­ле­ба­ни­ям тя­жё­лых це­пей (1732). Л. Эй­лер, рас­смат­ри­вая за­да­чу о ко­ле­ба­ни­ях круг­лой мем­бра­ны (1738), при­шёл к урав­не­нию Бес­се­ля с це­лы­ми зна­че­ния­ми $p=n$ и на­шёл вы­ра­же­ние $J_n(x)$ в ви­де ря­да по сте­пе­ням $x$, позд­нее он рас­про­стра­нил это вы­ра­же­ние на слу­чай про­из­воль­ных зна­че­ний $p$. Ф. Бес­сель в свя­зи с изу­че­ни­ем дви­же­ния пла­нет во­круг Солн­ца ис­сле­до­вал (1824) функ­ции $J_p(x)$ и со­ста­вил пер­вые таб­ли­цы для $J_0(x), J_1(x)$.