Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 34. Москва, 2017, стр. 337

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, класс спе­ци­аль­ных функ­ций, яв­ляю­щих­ся ре­ше­ния­ми диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­нияx2d2ydx2+xdydx+(x2v2)y=0,где v – про­из­воль­ный па­ра­метр. К это­му урав­не­нию сво­дят­ся мн. во­про­сы рав­но­ве­сия (уп­ру­го­го, те­п­ло­во­го, элек­три­че­ско­го) и ко­ле­ба­ний тел ци­лин­д­рич. фор­мы. Ре­ше­ние, имею­щее видJ_v(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k+v}}{k!Γ(k+v+1)},где Γ – гам­ма-функ­ция; ряд спра­ва схо­дит­ся при всех зна­че­ни­ях x, v ⩾ 0, на­зы­ва­ет­ся Ц. ф. 1-го ро­да по­ряд­ка (ин­дек­са) v. В ча­ст­но­сти, Ц. ф. ну­ле­во­го по­ряд­ка име­ет видJ_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}.

Ес­ли v – це­лое от­ри­ца­тель­ное, v=–n, то J_v(x) оп­ре­де­ля­ет­ся какJ_{–n}(x)=(–1)^nJ_n(x).Ц. ф. по­ряд­ка v=m+1/2, где m – це­лое чис­ло, сво­дит­ся к эле­мен­тар­ным функ­ци­ям, напр.,J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\sin x,\\J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\cos x.

Функ­ции J_v(x) и урав­не­ние (1) на­зы­ва­ют так­же по име­ни Ф. Бес­се­ля

 >>
(Бес­се­ля функ­ции
 >>
, Бес­се­ля урав­не­ние
 >>
). Од­на­ко эти функ­ции и урав­не­ние (1) бы­ли по­лу­че­ны ещё Л. Эй­ле­ром
 >>
при изу­че­нии ко­ле­ба­ний мем­бра­ны в 1738, функ­ция ну­ле­во­го по­ряд­ка встре­ча­ет­ся ещё рань­ше в ра­бо­те Д. Бер­нул­ли
 >>
, по­свя­щён­ной ко­ле­ба­нию тя­жё­лой це­пи (1732), а функ­ция по­ряд­ка 1/3 – в пись­ме Я. Бер­нул­ли к Г. В. Лейб­ни­цу
 >>
(1703).

Ес­ли v не яв­ля­ет­ся це­лым чис­лом, то об­щее ре­ше­ние урав­не­ния (1) име­ет видy=C_1J_v(x)+C_2J_{–v}(x),\tag{2}где C_1, C_2 – по­сто­ян­ные. Ес­ли же v – це­лое, то J_v(x) и J_{–v}(x) ли­ней­но за­ви­си­мы и их ли­ней­ная ком­би­на­ция (2) уже не яв­ля­ет­ся об­щим ре­ше­ни­ем урав­не­ния (1). По­это­му, на­ря­ду с Ц. ф. 1-го ро­да, вво­дят ещё Ц. ф. 2-го ро­да (на­зы­вае­мые также функ­ция­ми Ве­бе­ра):Y_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{J_μ(x)\cos μπ - J_{-μ}(x)}{\sin μπ.}При по­мо­щи этих функ­ций об­щее ре­ше­ние урав­не­ния (1) мо­жет быть за­пи­са­но в ви­деy=C_1J_v(x)+C_2Y_v(x)как при це­лом, так и при не­це­лом v.

В при­ло­же­ни­ях встре­ча­ют­ся Ц. ф. мни­мо­го ар­гу­мен­таI_v(x)=i^{–v}J_v(ix)иK_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{π}{2}\frac{I_{-μ}(x)-I_{μ}(x)}{\sin μπ}(функ­ция Мак­до­наль­да). Эти функ­ции удов­ле­тво­ря­ют урав­не­ниюx^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+v^2)y=0,об­щее ре­ше­ние ко­то­ро­го име­ет видy=C_1I_v(x)+C_2K_v(x)$как при це­лом, так и при не­це­лом v. Час­то упот­реб­ля­ют­ся ещё Ц. ф. третье­го ро­да (или функ­ции Ган­ке­ля)H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iY_v(x),\\H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iY_v(x),а так­же функ­ции Том­со­на ber(x), bei(x), оп­ре­де­ляе­мые со­от­но­ше­ни­емber(x)+ibei(x)=I_0(x\sqrt{i}).

Ц. ф. изу­че­ны очень де­таль­но и для ком­плекс­ных зна­че­ний ар­гу­мен­тов.

Лит.: Ват­сон Г. Н. Тео­рия бес­се­ле­вых функ­ций. М., 1949. Ч. 1–2; Ни­ки­фо­ров А. Ф., Ува­ров В. Б. Ос­но­вы тео­рии спе­ци­аль­ных функ­ций. М., 1974; Бейт­мен Г., Эр­дейи А. Выс­шие транс­цен­дент­ные функ­ции. 2-е изд. М., 1974. Т. 2.

Вернуться к началу