ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, класс специальных функций, являющихся решениями дифференциального уравненияx2d2ydx2+xdydx+(x2−v2)y=0,где v – произвольный параметр. К этому уравнению сводятся мн. вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрич. формы. Решение, имеющее видJ_v(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k+v}}{k!Γ(k+v+1)},где Γ – гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях x, v ⩾ 0, называется Ц. ф. 1-го рода порядка (индекса) v. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет видJ_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}.
Если v – целое отрицательное, v=–n, то J_v(x) определяется какJ_{–n}(x)=(–1)^nJ_n(x).Ц. ф. порядка v=m+1/2, где m – целое число, сводится к элементарным функциям, напр.,J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\sin x,\\J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\cos x.
Функции J_v(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1738, функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвящённой колебанию тяжёлой цепи (1732), а функция порядка 1/3 – в письме Я. Бернулли к Г. В. Лейбницу (1703).
Если v не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет видy=C_1J_v(x)+C_2J_{–v}(x),\tag{2}где C_1, C_2 – постоянные. Если же v – целое, то J_v(x) и J_{–v}(x) линейно зависимы и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го рода, вводят ещё Ц. ф. 2-го рода (называемые также функциями Вебера):Y_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{J_μ(x)\cos μπ - J_{-μ}(x)}{\sin μπ.}При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в видеy=C_1J_v(x)+C_2Y_v(x)как при целом, так и при нецелом v.
В приложениях встречаются Ц. ф. мнимого аргументаI_v(x)=i^{–v}J_v(ix)иK_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{π}{2}\frac{I_{-μ}(x)-I_{μ}(x)}{\sin μπ}(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнениюx^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+v^2)y=0,общее решение которого имеет видy=C_1I_v(x)+C_2K_v(x)$как при целом, так и при нецелом v. Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iY_v(x),\\H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iY_v(x),а также функции Томсона ber(x), bei(x), определяемые соотношениемber(x)+ibei(x)=I_0(x\sqrt{i}).
Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов.