ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, класс спе­ци­аль­ных функ­ций, яв­ляю­щих­ся ре­ше­ния­ми диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-v^2)y=0,\tag{1}$$где $v$ – про­из­воль­ный па­ра­метр. К это­му урав­не­нию сво­дят­ся мн. во­про­сы рав­но­ве­сия (уп­ру­го­го, те­п­ло­во­го, элек­три­че­ско­го) и ко­ле­ба­ний тел ци­лин­д­рич. фор­мы. Ре­ше­ние, имею­щее вид$$J_v(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k+v}}{k!Γ(k+v+1)},$$где $Γ$ – гам­ма-функ­ция; ряд спра­ва схо­дит­ся при всех зна­че­ни­ях $x$, $v ⩾ 0$, на­зы­ва­ет­ся Ц. ф. 1-го ро­да по­ряд­ка (ин­дек­са) $v$. В ча­ст­но­сти, Ц. ф. ну­ле­во­го по­ряд­ка име­ет вид$$J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}.$$

Ес­ли $v$ – це­лое от­ри­ца­тель­ное, $v=–n$, то $J_v(x)$ оп­ре­де­ля­ет­ся как$$J_{–n}(x)=(–1)^nJ_n(x).$$Ц. ф. по­ряд­ка $v=m+1/2$, где $m$ – це­лое чис­ло, сво­дит­ся к эле­мен­тар­ным функ­ци­ям, напр.,$$J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\sin x,\\J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\cos x.$$

Функ­ции $J_v(x)$ и урав­не­ние (1) на­зы­ва­ют так­же по име­ни Ф. Бес­се­ля (Бес­се­ля функ­ции, Бес­се­ля урав­не­ние). Од­на­ко эти функ­ции и урав­не­ние (1) бы­ли по­лу­че­ны ещё Л. Эй­ле­ром при изу­че­нии ко­ле­ба­ний мем­бра­ны в 1738, функ­ция ну­ле­во­го по­ряд­ка встре­ча­ет­ся ещё рань­ше в ра­бо­те Д. Бер­нул­ли, по­свя­щён­ной ко­ле­ба­нию тя­жё­лой це­пи (1732), а функ­ция по­ряд­ка ¹/₃ – в пись­ме Я. Бер­нул­ли к Г. В. Лейб­ни­цу (1703).

Ес­ли v не яв­ля­ет­ся це­лым чис­лом, то об­щее ре­ше­ние урав­не­ния (1) име­ет вид$$y=C_1J_v(x)+C_2J_{–v}(x),\tag{2}$$где $C_1$, $C_2$ – по­сто­ян­ные. Ес­ли же $v$ – це­лое, то $J_v(x)$ и $J_{–v}(x)$ ли­ней­но за­ви­си­мы и их ли­ней­ная ком­би­на­ция (2) уже не яв­ля­ет­ся об­щим ре­ше­ни­ем урав­не­ния (1). По­это­му, на­ря­ду с Ц. ф. 1-го ро­да, вво­дят ещё Ц. ф. 2-го ро­да (на­зы­вае­мые также функ­ция­ми Ве­бе­ра):$$Y_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{J_μ(x)\cos μπ - J_{-μ}(x)}{\sin μπ.}$$При по­мо­щи этих функ­ций об­щее ре­ше­ние урав­не­ния (1) мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де$$y=C_1J_v(x)+C_2Y_v(x)$$как при це­лом, так и при не­це­лом $v$.

В при­ло­же­ни­ях встре­ча­ют­ся Ц. ф. мни­мо­го ар­гу­мен­та$$I_v(x)=i^{–v}J_v(ix)$$и$$K_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{π}{2}\frac{I_{-μ}(x)-I_{μ}(x)}{\sin μπ}$$(функ­ция Мак­до­наль­да). Эти функ­ции удов­ле­тво­ря­ют урав­не­нию$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+v^2)y=0,$$об­щее ре­ше­ние ко­то­ро­го име­ет вид$y=C_1I_v(x)+C_2K_v(x)$$как при це­лом, так и при не­це­лом $v$. Час­то упот­реб­ля­ют­ся ещё Ц. ф. третье­го ро­да (или функ­ции Ган­ке­ля)$$H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iY_v(x),\\H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iY_v(x),$$а так­же функ­ции Том­со­на $ber(x)$, $bei(x)$, оп­ре­де­ляе­мые со­от­но­ше­ни­ем$$ber(x)+ibei(x)=I_0(x\sqrt{i}).$$

Ц. ф. изу­че­ны очень де­таль­но и для ком­плекс­ных зна­че­ний ар­гу­мен­тов.