БЕСКОНЕ́ЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕ́НИЕ

БЕСКОНЕ́ЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕ́НИЕ бес­конеч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти чи­сел $p_1, p_2, …,$ фор­маль­но за­пи­сан­ное про­изве­де­ние $$p_1p_2...=\prod_{k=1}^\infty p_k.$$

Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность час­тич­ных про­из­ве­де­ний $P_n=p_1 p_2 … p_n$ при $n→∞$ схо­дит­ся к чис­лу $P$, не рав­но­му ну­лю, то Б. п. на­зы­ва­ют схо­дя­щим­ся, $P$ на­зы­ва­ют зна­че­ни­ем Б. п. и пи­шут $P=\prod_{k=1}^\infty p_k$. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность $P_n$ не схо­дит­ся к ко­неч­но­му пре­де­лу или схо­дит­ся к ну­лю, то Б. п. на­зы­ва­ют рас­хо­дя­щим­ся.

Схо­ди­мость Б. п., все мно­жи­те­ли $p_k$ ко­то­ро­го по­ло­жи­тель­ны, рав­но­силь­на схо­ди­мо­сти ря­да $\sum_{k=1}^\infty \ln p_k$.

Для схо­ди­мо­сти Б. п. не­об­хо­ди­мо, что­бы $p_k→1$ при $k→∞$, по­это­му Б. п. час­то за­пи­сы­ва­ют в ви­де $$\prod_{k=1}^\infty (1+a_k).$$

Ес­ли все чис­ла $a_k$ име­ют оди­на­ко­вые зна­ки, то схо­ди­мость та­ко­го Б. п. рав­но­силь­на схо­ди­мо­сти ря­да $\sum_{k=1}^\infty a_k$.

Мно­жи­те­ля­ми Б. п. мо­гут быть ком­плекс­ные чис­ла, функ­ции и во­об­ще эле­мен­ты про­из­воль­ной при­ро­ды, для ко­то­рых оп­ре­де­ле­ны про­из­ве­де­ние ко­неч­но­го на­бо­ра мно­жи­те­лей и схо­ди­мость по­сле­до­ва­тель­но­стей эле­мен­тов.

Б. п. ис­поль­зу­ют­ся для пред­став­ле­ния мно­гих важ­ных по­сто­ян­ных и функ­ций. Напр., Вал­ли­са фор­му­ла да­ёт пред­став­ле­ние чис­ла $π$ в ви­де Б. п.; ус­та­нов­лен­ная Л. Эй­ле­ром фор­му­ла $$\sin x =\prod_{k=1}^\infty x \left ( 1-\frac{x^2}{π^2k^2} \right )$$ xда­ёт пред­став­ле­ние функ­ции $\sin x$ в ви­де Б. п., ко­то­рое мож­но рас­смат­ри­вать как ана­лог раз­ло­же­ния мно­го­чле­на на про­из­ве­де­ние мно­го­чле­нов пер­вой и вто­рой сте­пе­ней.

Б. п. впер­вые встре­ча­ют­ся в ра­бо­те Ф. Вие­та (1593).