АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ К-ТЕО́РИЯ

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ К-ТЕО́РИЯ, изу­ча­ет т. н. $K$-груп­пы, $K_n(R), n=0, 1, \ldots,$ оп­ре­де­лён­ные для лю­бо­го коль­ца $R$.

Груп­па $K_0(R)$ вве­де­на франц. ма­те­ма­ти­ком А. Гро­тен­ди­ком (1957). Её об­ра­зую­щи­ми яв­ля­ют­ся клас­сы изо­мор­физ­ма [$P$], [$Q$], ... ко­неч­но-по­рож­дён­ных мо­ду­лей $P$, $Q$, ... над коль­цом $R$ (см. в статьях Мо­дуль, Го­мо­ло­ги­че­ская ал­геб­ра). По­ро­ж­даю­щие со­от­но­ше­ния груп­пы $K_0(R)$ име­ют вид $[P]+[Q]=[P \oplus Q]$. В слу­чае, ко­гда $R$ – по­ле или коль­цо мно­го­чле­нов над по­лем, груп­па $K_0(R)$ яв­ля­ет­ся коль­цом це­лых чи­сел $\bf Z$.

Груп­па $K_1(R)$, на­зы­вае­мая груп­пой Уайт­хе­да (вве­де­на амер. ма­те­ма­ти­ком Дж. Уайт­хе­дом, 1950), сов­па­да­ет с фак­тор-груп­пой груп­пы $GL(R)$ всех мат­риц с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми из $R$ по под­груп­пе $E(R)$, по­ро­ж­дён­ной эле­мен­тар­ны­ми мат­ри­ца­ми, т. е. мат­ри­ца­ми, от­ли­чаю­щи­ми­ся от еди­нич­ной в од­ном един­ст­вен­ном не­диа­го­наль­ном чле­не. Ес­ли $R$ – по­ле, то $K_1(R)$ сов­па­да­ет с муль­ти­п­ли­ка­тив­ной груп­пой $R^*$ по­ля $R$.

Груп­па $K_2(R)$ вве­де­на Дж. Мил­но­ром (1971), она сов­па­да­ет с груп­пой всех не­три­ви­аль­ных со­от­но­ше­ний ме­ж­ду эле­мен­тар­ны­ми мат­ри­ца­ми. Ес­ли $R$ – по­ле, то груп­па $K_2(R)$ по­ро­ж­да­ет­ся сим­во­ла­ми $\{ a, b \} ( a, b \in R^*)$, под­чи­нён­ны­ми со­от­но­ше­ни­ям $$\{a_1, a_2, b \}= \{a_1, b \}+ \{a_2, b \},$$ $$\{a, b_1, b_2\}=\{a, b_1\}+\{a, b_2\}$$ и $\{a, 1-a\}=0$ для $a$, не рав­ных 0 и 1.

Груп­пы $K_n(R)$ для всех $n⩾0$ по­строены амер. ма­те­ма­ти­ком Д. Ку­ил­ле­ном (1972). Ра­нее Мил­нор оп­ре­де­лил $K_n(R)$ для по­лей, за­дав их сим­во­ла­ми $\{a_1,\ldots,a_n\}, a_i \in R^*$, ко­то­рые би­ли­ней­ны по ка­ж­до­му ар­гу­мен­ту и $\{a_1, ..., a_n\}=0$, ес­ли $a_{i+}a_{i+1}=0$ для не­ко­то­ро­го $i$. Груп­пы Мил­но­ра не сов­па­да­ют с груп­па­ми Ку­ил­ле­на.

С по­мо­щью $K$-групп ре­ше­ны мно­гие труд­ные про­бле­мы, не под­да­вав­шие­ся ре­ше­нию с ис­поль­зо­ва­ни­ем др. ме­то­дов. Вве­дён­ная А. Гро­тен­ди­ком груп­па $K_0(R)$ бы­ла им ис­поль­зо­ва­на для дока­за­тель­ст­ва и зна­чит. обоб­ще­ния тео­ре­мы Ри­ма­на – Ро­ха – Хир­цеб­ру­ха в ал­геб­раи­че­ской гео­мет­рии. Вве­дён­ная Дж. Уайт­хе­дом груп­па $K_1(R)$ сыг­ра­ла осн. роль в ре­ше­нии т. н. кон­гру­енц-проб­ле­мы: пусть $K$ – чи­сло­вое по­ле (ко­неч­ное рас­ши­ре­ние по­ля $\bf Q$) и $\bf R$ – его коль­цо це­лых чи­сел (ес­ли $K=\bf Q$, то $R=\bf Z$); тре­бу­ет­ся ус­та­но­вить, вся­кая ли под­груп­па ко­неч­но­го ин­дек­са в $SL_n(R)$ со­дер­жит груп­пу всех мат­риц, срав­ни­мых с еди­нич­ной по мо­ду­лю не­ко­то­ро­го идеа­ла $I⊂R$. Про­бле­ма ре­ша­ет­ся ут­вер­ди­тель­но для под­по­лей $K$ по­ля ве­ще­ст­вен­ных чи­сел $\bf R$. $K$-груп­пы Мил­но­ра по­ля мож­но свя­зать с ко­го­мо­ло­гия­ми груп­пы Га­луа его ал­геб­ра­ич. за­мы­ка­ния (тео­ре­мы Мер­курь­е­ва – Сус­ли­на, Вое­вод­ско­го). В то­по­ло­гии с по­мо­щью $K$-групп ре­шены про­бле­мы об ин­дек­се эл­лип­тич. опе­ра­то­ра, о век­тор­ных по­лях на сфе­ре и др. А. K-т. на­хо­дит при­ме­не­ния и в тео­рии чи­сел (на­хо­ж­де­ние групп Га­луа абе­ле­вых рас­ши­ре­ний ло­каль­ных по­лей, вы­чис­ле­ние зна­че­ний дзе­та-функ­ций в це­лых точ­ках).