КО́РЕНЬ

КО́РЕНЬ в ма­те­ма­ти­ке, 1) сте­пе­ни $n$ из чис­ла $a$, чис­ло $x$ та­кое, что $x^n=a$. Дей­ст­вие на­хо­ж­де­ния кор­ня на­зы­ва­ет­ся из­вле­че­ни­ем кор­ня

. В об­лас­ти дей­ст­ви­тель­ных чи­сел су­ще­ст­ву­ет ров­но один К. не­чёт­ной сте­пе­ни из лю­бо­го дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла, при­чём К. из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла по­ло­жи­те­лен, а из от­ри­ца­тель­но­го от­ри­ца­те­лен. К. чёт­ной сте­пе­ни из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла име­ет два зна­че­ния, рав­ные по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не и про­ти­во­по­лож­ные по зна­ку. К. чёт­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла в об­лас­ти дей­ст­ви­тель­ных чи­сел не су­ще­ст­ву­ет, по­то­му что чёт­ная сте­пень лю­бо­го дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла по­ло­жи­тель­на. По­ло­жи­тель­ный К. сте­пе­ни $n$ из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла $a$ на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­тич. К. и обо­зна­ча­ет­ся $\sqrt[n]a$ ( при $n=2$). Вто­рой, от­ри­ца­тель­ный К., су­ще­ст­вую­щий при чёт­ном $n$, обо­зна­ча­ет­ся $–\sqrt[n]a$. Ес­ли же рас­смат­ри­ва­ют­ся оба зна­че­ния К., то пе­ред зна­ком ра­ди­ка­ла ста­вит­ся двой­ной знак, напр. $\sqrt 4=±2$. В этом слу­чае го­во­рят об ал­геб­ра­ич. зна­че­ни­ях К. Су­ще­ст­ву­ет ров­но один ариф­ме­тич. К. дан­ной сте­пе­ни из дан­но­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла. Для чис­ла 0 су­ще­ст­ву­ет ров­но один К. лю­бой сте­пе­ни и он ра­вен 0.

В об­лас­ти ком­плекс­ных чи­сел при $a≠0$ су­ще­ст­ву­ет $n$ разл. К. сте­пе­ни $n$. Напр., зна­че­ния­ми $\sqrt[3]8$ яв­ля­ют­ся чис­ла 2, $-1+i\sqrt3, -1-i\sqrt3$, , где $i$ – мни­мая единица. К. сте­пе­ни $n$ из еди­ни­цы, т. е. ре­ше­ние урав­не­ния $x^n=1$, мож­но за­пи­сать в ви­де $$\sqrt[n]1=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}, k=0,1,\ldots,n-1.$$ Фор­му­лу для кор­ней $n$-й сте­пе­ни из лю­бо­го ком­плекс­но­го чис­ла $z=r(\cos φ+i\sin φ),\,r>0,\, 0⩽φ<2π$, см. в ст. Ком­плекс­ное чис­ло

. Все эти К. на­хо­дят­ся на ком­плекс­ной плос­ко­сти в вер­ши­нах пра­виль­но­го $n$-уголь­ни­ка с цен­тром в точ­ке нуль, од­на из вер­шин ко­то­ро­го на­хо­дится в точ­ке $\sqrt[n]r(\cos (φ/n)+i\sin(φ/n))$.

К на­хо­ж­де­нию К. ма­те­ма­ти­ков древ­но­сти при­во­ди­ли разл. гео­мет­рич. за­да­чи. Сре­ди ва­ви­лон­ских кли­но­пис­ных тек­стов (2-е тыс. до н. э.) име­ют­ся опи­са­ния при­бли­жён­но­го на­хо­ж­де­ния К. и таб­ли­цы квад­рат­ных К., а в егип. па­пи­ру­сах встре­ча­ет­ся и осо­бый знак для из­вле­чения К. Др.-греч. ма­те­ма­ти­ки ус­та­но­ви­ли не­со­из­ме­ри­мость сто­ро­ны квад­ра­та с его диа­го­на­лью (рав­ной $a\sqrt2$, ес­ли $a$ – его сто­ро­на), что позд­нее при­ве­ло к от­кры­тию ир­ра­цио­наль­ных чи­сел. Инд. учё­ный Ари­аб­ха­та (5 в. н. э.) опи­сал пра­ви­ла для из­вле­че­ния квад­рат­ных и ку­бич. кор­ней. Омар Хай­ям

, араб. учё­ный аль-Ка­ши (15 в.), нем. ма­те­ма­тик М. Шти­фель (16 в.) из­вле­ка­ли К. выс­ших сте­пе­ней, ис­хо­дя из фор­му­лы для $(a+b)^n$. Л. Эй­лер

 >>

дал со­хра­нив­шие своё зна­че­ние до на­ших дней при­бли­жён­ные спо­со­бы из­вле­че­ния К. Квад­рат­ные К. из от­ри­ца­тель­ных чи­сел, встре­чав­шие­ся у Дж. Кар­да­но

 >>

и итал. ма­те­ма­ти­ка Р. Бом­бел­ли в 16 в., при­ве­ли к от­кры­тию ком­плекс­ных чи­сел. Об ис­то­рии зна­ка для К. см. в ст. Ма­те­ма­ти­че­ские зна­ки

 >>

.

2) К. ал­геб­ра­ич. урав­не­ния $$a_0x^n+a_1x^{n–1}+\ldots+a_n=0$$ – чис­ло $c$, ко­то­рое при под­ста­нов­ке его вме­сто $x$ об­ра­ща­ет ле­вую часть урав­не­ния в нуль. К. это­го урав­не­ния на­зы­ва­ет­ся так­же кор­нем мно­го­чле­на $$f_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n–1}+\ldots+a_n.$$ .

Ес­ли чис­ло $c$ яв­ля­ет­ся К. мно­го­чле­на $f_n(x)$, то $f_n(x)$ де­лит­ся без ос­тат­ка на $x-c$. См. так­же Ал­геб­раи­че­ское урав­не­ние

.