ИЗВЛЕЧЕ́НИЕ КО́РНЯ

ИЗВЛЕЧЕ́НИЕ КО́РНЯ, ал­геб­ра­ич. дей­ствие, об­рат­ное воз­ве­де­нию в сте­пень. Из­влечь ко­рень $n$-й сте­пе­ни из чис­ла $a$ – это зна­чит най­ти та­кое чис­ло $x$, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в $n$-ю сте­пень даст дан­ное чис­ло, т. е. та­кое, что $x_n = a$$x^n=a$; чис­ло $x$ (обо­зна­ча­ет­ся $\sqrt[n]a$) на­зы­ва­ет­ся кор­нем, $n$ – по­ка­за­те­лем кор­ня, $a$ – под­ко­рен­ным вы­ра­же­ни­ем; знак $\sqrt{}$ (знак ра­ди­кала) есть из­ме­нён­ное на­пи­са­ние бу­к­вы r (лат. radix – ко­рень). Напр., в облас­ти дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $\sqrt[4]81=\pm3$, т. к. $(\pm3)^4=81$; сре­ди мни­мых чи­сел име­ют­ся ещё два кор­ня $\sqrt[4]81=\pm3$. Ко­рень 2-й сте­пе­ни на­зы­ва­ет­ся квад­рат­ным (обо­зна­ча­ет­ся $\sqrt{a}$), ко­рень 3-й сте­пе­ни – ку­би­че­ским. При И. к. вы­пол­ня­ют­ся равен­ст­ва $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]a\sqrt[n]b,\; \sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]a \:/ \sqrt[n]b,\; (\sqrt[n]a)^m = \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[\frac{n}{m}]a$.

За­да­ча И. к. $n$-й сте­пе­ни из чис­ла $a$ эк­ви­ва­лент­на ре­ше­нию дву­член­но­го урав­не­ния $x^n - a = 0$. Это урав­не­ние име­ет $n$ ком­плекс­ных кор­ней, по­это­му су­ще­ст­ву­ет $n$ кор­ней из чис­ла $a$. Ес­ли $a$ – дей­ст­ви­тель­ное по­ло­жи­тель­ное чис­ло, то один из этих кор­ней (на­зы­вае­мый ариф­ме­ти­че­ским) бу­дет так­же дей­ст­ви­тель­ным и по­ло­жи­тель­ным; под за­да­чей И. к. час­то по­ни­ма­ют на­хо­ж­де­ние имен­но ариф­ме­тич. кор­ня.