А́БЕЛЕВ ИНТЕГРА́Л

А́БЕЛЕВ ИНТЕГРА́Л, ин­те­грал ви­да $$\int\limits_{z_0}^{z_1} R(z,w)\, dz,$$ где ин­те­гри­ро­ва­ние про­из­во­дит­ся вдоль не­ко­то­ро­го спрям­ляе­мо­го пу­ти $L$, со­еди­няю­ще­го точ­ки $z_0$ и $z_1$в $z$-плос­ко­сти, а $R(z,w)$ – ра­цио­наль­ная функ­ция пе­ре­мен­ных и $w$, свя­зан­ных по­ли­но­ми­аль­ным урав­не­ни­ем $F(z,w)=0$. Это урав­не­ние оп­ре­де­ля­ет не­ко­то­рую ри­ма­но­ву по­верх­ность $F$, и А. и. мо­жет быть рас­смот­рен как ин­те­грал от не­ко­то­ро­го пу­ти $L'$ на $F$, на­кры­ваю­ще­го путь $L$. На­зва­ние «А. и.» да­но в честь Н. Абе­ля

, за­ло­жив­ше­го ос­но­вы тео­рии А. и.

В ча­ст­ном слу­чае, ко­гда $F(z,w)=w^2-H(z)$, где $H(z)$ – мно­го­член сте­пе­ни 3 или 4, А. и. на­зы­ва­ют эл­лип­тич. ин­те­гра­лом, а ес­ли сте­пень $H(z)$ боль­ше или рав­на 5, то ги­пе­рэл­лип­ти­че­ским. А. и. впер­вые поя­ви­лись как эл­лип­тич. ин­те­гра­лы в ра­бо­тах Я. и И. Бер­нул­ли

при вы­чис­ле­нии длин дуг кри­вых вто­ро­го по­ряд­ка. Про­бле­ма об­ра­ще­ния эл­лип­тич. ин­те­гра­лов (ко­гда А. и. рас­смат­ри­ва­ет­ся как функ­ция верх­не­го пре­де­ла) бы­ла по­став­ле­на и ре­ше­на в ра­бо­тах Абе­ля и К. Яко­би

 >>

в 1827. Ими так­же ис­сле­до­ва­лась про­бле­ма об­ра­ще­ния ги­пе­рэл­лип­тич. ин­те­гра­лов. Су­ще­ст­вен­ный вклад в тео­рию А. и. внёс Б. Ри­ман

 >>

, ко­то­рый в 1851 ввёл важ­ное по­ня­тие т. н. ри­ма­но­вой по­верх­но­сти.