ХИ-КВАДРА́Т КРИТЕ́РИЙ

ХИ-КВАДРА́Т КРИТЕ́РИЙ ($χ^2$-кри­те­рий), кри­те­рий про­вер­ки раз­лич­ных ста­ти­сти­че­ских ги­по­тез, ос­но­ван­ный на хи-квад­рат рас­пре­де­ле­нии. Пусть, напр., ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний $X_1$, $...$, $X_n$ яв­ля­ют­ся вза­им­но не­за­ви­си­мы­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, имею­щи­ми од­но и то же нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с не­из­вест­ны­ми па­ра­мет­ра­ми $a$ и $σ^2$. Для про­вер­ки ги­по­те­зы $σ^2=σ_0^2$, где $σ_0^2$ – за­дан­ное чис­ло, поль­зу­ют­ся Хи-к. к. в сле­дую­щей фор­ме: ес­ли для чи­сел $x_1 < x_2$, о вы­бо­ре ко­то­рых ска­за­но ни­же $$x_1 \leqslant \frac{1}{σ_0^2}\sum_{i=0}^n (X_i - \overline X)^2 \leqslant x_2,$$, где $$\overline X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,$$то по­ла­га­ют, что ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний не про­ти­во­ре­чат ги­по­те­зе $σ^2=σ_0^2$, ес­ли же од­но из этих не­ра­венств на­ру­ша­ет­ся, то счи­та­ют рас­хо­ж­де­ние зна­чи­мым со зна­чи­мо­сти уров­нем α и ги­по­те­зу от­кло­ня­ют. Чис­ла $x_1$, $x_2$ вы­би­ра­ют по за­дан­но­му $α$ на ос­но­ва­нии то­го, что при ги­по­те­зе $σ^2=σ_0^2$ ста­ти­сти­ка $$\frac{1}{σ_0^2}\sum_{i=0}^n (X_i - \overline X)^2$$ име­ет хи-квад­рат рас­пре­де­ле­ние с $n-1$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды, т. е. $x_1$, $x_2$ на­хо­дят­ся из урав­не­ний $$\int_0^{x_1} k_(n-1)(x)dx=\frac{α}{2},\\ \int_{x_2}^{\infty} k_(n-1)(x)dx=\frac{α}{2}.$$

Наи­бо­лее из­вест­но при­ме­не­ние Хи-к. к. как кри­те­рия со­гла­сия Пир­со­на в сле­дую­щей за­да­че. Пусть в се­рии $n$ по­вторных не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний с ис­хо­да­ми $A_1$, $...$, $A_m$ по­лу­чен ре­зуль­тат ($X_1$, $...$, $X_m$), где $X_j$ – слу­чай­ное чис­ло осу­ще­ст­в­ле­ний ис­хо­да $A_j$, так что $X_1+...+X_m=n$. Про­ве­ря­ет­ся ги­по­те­за о том, что век­тор ($X_1$, $...$, $X_m$) име­ет по­ли­но­ми­аль­ное рас­пре­де­ле­ние с со­от­вет­ст­вен­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми $p_1$, $...$, $p_m$, $p_j > 0$, $p_1+...+p_m=1$. Хи-к. к. для этой ги­по­те­зы ос­но­ван на хи-квад­рат ста­ти­сти­ке Пир­со­на $$χ^2=\sum_{j=1}^m \frac{(X_j-np_j)^2}{np_j},$$ ко­то­рая в пре­де­ле при $n→∞$ име­ет хи-квад­рат рас­пре­де­ле­ние с $m-1$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды. Со­глас­но Хи-к. к. с уров­нем зна­чи­мо­сти, при­бли­жён­но рав­ным $α$, ги­по­те­зу со­гла­сия от­вер­га­ют, ес­ли $χ^2 \geqslant χ^2_{m-1}(α)$, где $χ^2_{m-1}(α)$на­хо­дят из со­от­но­ше­ния $$\int_{χ^2_{m-1}(α)}^{\infty} k_{m-1}(x)dx=α.$$