ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, эле­мен­тар­ные функ­ции си­нус, ко­си­нус, тан­генс, ко­тан­генс, се­канс, ко­се­канс. Обо­зна­ча­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но $\sin x$, $\cos x$, $\text{tg}\, x$, $\text{ctg}\, x$, $\sec x$, $\text{cosec}\, x$. Ис­поль­зу­ют­ся и др. обо­зна­че­ния, напр. $\tan x$, $\cot x$, $\text{cotg}\,x$, $\text{ctn}\,x$.

Пусть $A$ – точ­ка ок­руж­но­сти еди­нич­но­го ра­диу­са с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и $α$ – угол ме­ж­ду осью абс­цисс и век­то­ром $OA$, от­счи­ты­вае­мый от по­ло­жи­тель­но­го на­прав­ле­ния оси абс­цисс (рис. 1). При этом ес­ли от­счёт ве­дёт­ся про­тив ча­со­вой стрел­ки, то ве­ли­чи­на уг­ла счи­та­ет­ся по­ло­жи­тель­ной, а ес­ли по ча­со­вой стрел­ке – от­ри­ца­тель­ной. Ес­ли ($x_α$,$y_α$) – де­кар­то­вы пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты точ­ки $A$, то Т. ф. си­нус и ко­си­нус оп­ре­де­ля­ют­ся как $$\sin α=y_α,\,\,\cos α=x_α,$$ Ос­таль­ные Т. ф. оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми$$\text{tg}\,α=\frac{\sin α}{\cos α},\,\text{ctg}\,α=\frac{\cos α}{\sin α},\\ \text{sec}\,α=\frac{α}{\cos α},\,\,\text{cosec}\,α=\frac{1}{\sin α}.$$

Угол мо­жет из­ме­рять­ся как в (уг­ло­вых) гра­ду­сах, так и в ра­диа­нах и из­ме­ня­ет­ся от $–∞$ до $+∞$. Ча­ще ис­поль­зу­ет­ся ра­ди­ан­ное из­ме­ре­ние, при этом обо­зна­че­ние ра­ди­ан опус­ка­ет­ся и Т. ф. счи­та­ют­ся функ­ция­ми чи­сло­во­го ар­гу­мен­та. При ра­ди­ан­ном из­ме­ре­нии счи­та­ет­ся, что α есть взя­тая с со­от­вет­ст­вую­щим зна­ком дли­на ду­ги еди­нич­ной ок­руж­но­сти, со­еди­няю­щей точ­ки (1, 0) и $A$, при этом до­пус­ка­ет­ся, что эта ду­га, пре­ж­де чем за­кон­чить­ся в точ­ке $A$, мо­жет неск. раз на­ма­ты­вать­ся на ок­руж­ность. Точ­ку $A$ на­зы­ва­ют ещё точ­кой $α$, при этом нуж­но иметь в ви­ду, что чис­лам $α$ и $α+2kπ$, $k=0,±1,±2,...,$ со­от­вет­ст­ву­ет од­на и та же точ­ка еди­нич­ной ок­руж­но­сти. Ино­гда точ­ки этой ок­руж­но­сти де­лят на чет­вер­ти, при этом в I чет­вер­ти ок­руж­но­сти на­хо­дят­ся точ­ки, для ко­то­рых $2kπ < α < 2kπ+π/2$, во II чет­вер­ти – точ­ки, для ко­то­рых $2kπ+π/2 < α < 2kπ+π,$ в III чет­вер­ти – точ­ки, для ко­то­рых $2kπ+π < α < 2kπ+3π/2$, в IV чет­вер­ти – точ­ки, для ко­то­рых $2kπ+3π/2 < α < 2kπ+2π$, $k=0,±1,±2,...$.

Для уг­лов, ве­ли­чи­ны ко­то­рых ле­жат ме­ж­ду 0 и $π/2$, зна­че­ния Т. ф. мож­но оп­ре­де­лять как от­но­ше­ния сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. На рис. 2 по­ка­зан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми $a$, $b$ и ги­по­те­ну­зой $c$. Для уг­ла $α$, про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­ту $a$, спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва $$\sin α=a/c,\,\cos α=b/c,\,\text{tg}\,α=a/b,\\ \text{ctg}\,α=b/a,\,\text{sec}\,α=c/b,\,\text{cosec}\,α=c/a.$$

На рис. 3 по­ка­за­но пред­став­ле­ние Т. ф. как от­рез­ков, свя­зан­ных с еди­нич­ной ок­руж­но­стью:$$\sin α=AB,\,\cos α=OB,\,\text{tg}\,α=CD,\\ \text{ctg}\,α=EF, \text{sec}\,α=OC,\,\text{cosec}\,α=OF$$ (рим­ские циф­ры I–IV на рис. 3 обо­зна­ча­ют чет­вер­ти еди­нич­ной ок­руж­но­сти). С эти­ми от­рез­ка­ми свя­за­но про­ис­хо­ж­де­ние на­зва­ний Т. ф. Так, лат. сло­во «tan­gens» оз­на­ча­ет ка­саю­щий­ся ($\text{tg}\,α$ изо­бра­жа­ет­ся от­рез­ком $CD$ ка­са­тель­ной к ок­руж­но­сти), «secans» – се­ку­щая ($\text{sec}\,α$ изо­бра­жа­ет­ся от­рез­ком $OC$ се­ку­щей к ок­руж­но­сти. Назв. «си­нус» (лат. sinus – па­зу­ха) – пе­ре­вод араб. сло­ва «джайб», яв­ляю­ще­го­ся, по-ви­ди­мо­му, ис­ка­же­ни­ем санскр. сло­ва «джи­ва» (букв. – те­ти­ва лу­ка), ко­то­рым инд. ма­те­ма­ти­ки обо­зна­ча­ли си­нус ($\sin α$ изо­бра­жа­ет­ся от­рез­ком $AB$). На­зва­ния «ко­си­нус», «ко­тан­генс», «ко­се­канс» про­ис­хо­дят от сокр. сло­ва «complementi» (до­пол­не­ние). Напр., «ко­си­нус» – от «complementi sinus» (си­нус до­пол­не­ния). Это свя­за­но с тем, что $\cos α$, $\text{ctg}\,α$, $\text{cosec}\,α$ рав­ны со­от­вет­ст­вен­но си­ну­су, тан­ген­су и се­кан­су ар­гу­мен­та, до­пол­няю­ще­го $α$ до $π/2$: $$\cos α=\sin(π/2-α),\,\text{ctg}\,α=\text{tg}\,(π/2-α),\\ \text{cosec}\,α=\sec(π/2-α).$$

Т. ф. се­канс и ко­се­канс ис­поль­зу­ют­ся ред­ко, обыч­но их сра­зу вы­ра­жа­ют че­рез си­нус и ко­си­нус по фор­му­лам$$\text{sec}\,α=1/\cos α,\,\text{cosec}\,α=1/\sin α,$$по­это­му в даль­ней­шем они не уча­ст­ву­ют.

Т. ф. sinα и cosα оп­ре­де­ле­ны при всех дей­ст­ви­тель­ных α, мно­же­ст­во зна­че­ний этих функ­ций – от­ре­зок [–1, 1]. Функ­ция $\text{tg}\,α$ оп­ре­де­ле­на при всех дей­ст­ви­тель­ных α та­ких, что $α≠π/2+kπ$, $k=0,±1,±2,...$. Функ­ция $\text{ctg}\,α$ оп­ре­де­ле­на при всех дей­ст­ви­тель­ных α та­ких, что $α≠kπ$, $k=0,±1,±2,...$. Мно­же­ст­вом зна­че­ний функ­ций тан­генс и ко­тан­генс яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.

Все Т. ф. яв­ля­ют­ся пе­рио­дич. функ­ция­ми. Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од функ­ций си­нус и ко­си­нус ра­вен $2π$, т. е. для лю­бо­го дей­ст­ви­тель­но­го $α$ $$\sin(α+2π)=\sin α,\,\cos(α+2π)=cos α,$$наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од функ­ций тан­генс и ко­тан­генс ра­вен $π$, т. е. для лю­бо­го $α$ из об­лас­тей их оп­ре­де­ле­ния$$\text{tg}(α+π)=\text{tg} α,\,\text{ctg}(α+π)=\text{ctg} α.$$ Гра­фик функ­ции си­нус см. в ст. Си­ну­сои­да, гра­фик функ­ции ко­си­нус по­лу­ча­ет­ся сдви­гом си­ну­сои­ды вле­во на ве­ли­чи­ну $π/2$. Гра­фик функ­ции тан­генс – тан­ген­сои­да – при­ве­дён на рис. 4, гра­фик функ­ции ко­тан­генс при­ве­дён на рис. 5, он по­лу­ча­ет­ся зер­каль­ным от­ра­же­ни­ем тан­ген­сои­ды от­но­си­тель­но оси абс­цисс и сдви­гом вле­во на $π/2$. Функ­ция $\sin α$ по­ло­жи­тель­на в I и II чет­вер­тях еди­нич­ной ок­руж­но­сти, в др. чет­вер­тях она от­ри­ца­тель­на. Функ­ция $\cos α$ по­ло­жи­тель­на в I и IV чет­вер­тях, в др. чет­вер­тях она от­ри­ца­тель­на. Функ­ции $\text{tg} α$ и $\text{ctg} α$ по­ло­жи­тель­ны в I и III чет­вер­тях, в др. чет­вер­тях они от­ри­ца­тель­ны. Функ­ция $\sin α$ воз­рас­та­ет в I и IV чет­вер­тях, в др. чет­вер­тях она убы­ва­ет. Функ­ция $\cos α$ воз­рас­та­ет в III и IV чет­вер­тях, в др. чет­вер­тях она убы­ва­ет. Функ­ция $\text{tg}\,α$ воз­рас­та­ет во всех ин­тер­ва­лах, где она оп­ре­де­ле­на. Функ­ция $\text{ctg}\,α$ убы­ва­ет во всех ин­тер­ва­лах, где она оп­ре­де­ле­на.

Зна­че­ния Т. ф. лю­бо­го ар­гу­мен­та мож­но вы­ра­зить че­рез Т. ф. ар­гу­мен­та, ле­жа­ще­го в I чет­вер­ти. Для это­го нуж­но ис­ход­ный ар­гу­мент пред­ста­вить в ви­де $2kπ+β$, где $0 ⩽ β < 2π$, а $k$ – це­лое число, и вос­поль­зо­вать­ся ра­вен­ст­вом $f(2kπ+β)=f(β)$, где $f$ – лю­бая из Т. ф. За­тем, ес­ли $β$ не ле­жит в I чет­вер­ти, нуж­но вос­поль­зо­вать­ся фор­му­ла­ми при­ве­де­ния, ко­то­рые да­ют зна­че­ния Т. ф. ар­гу­мен­та $β$, $π/2 < β < 2π$, че­рез зна­че­ния Т. ф. ар­гу­мен­та $α$, $0 < α < π/2$. Эти фор­му­лы да­ны в таб­ли­це:

Для не­ко­то­рых зна­че­ний ар­гу­мен­та зна­че­ния Т. ф. мож­но най­ти из гео­мет­рич. со­об­ра­же­ний. Так, $$\sin 0 = \cos \frac{π}{2} = \text{tg}\,0=0,$$ $\text{ctg}\,0$ не су­ще­ст­ву­ет;$$\sin\frac{π}{6}=\cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2};\\ \text{tg}\,\frac{π}{6}=\text{ctg}\,\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0,5774;\\ \sin\frac{π}{4}=\cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071,\\ \text{tg}\, \frac{π}{4}=\text{ctg}\,\frac{π}{4}=1;\\ \sin\frac{π}{3}=\cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660,\\ \text{tg}\,\frac{π}{3}=\cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}\approx 1,7322;\\ \sin\frac{π}{2}=\cos 0=1,\,\, \text{ctg}\,\frac{π}{2}=0,$$ $\text{tg}\,\frac{π}{2}$ не су­ще­ст­ву­ет.

Для лю­бо­го зна­че­ния ар­гу­мен­та зна­че­ния Т. ф. мож­но на­хо­дить с по­мо­щью их раз­ло­же­ния в сте­пен­ные ря­ды (см. ни­же).

Функ­ции $\sin nα$ и $\cos nα$ при лю­бом на­ту­раль­ном $n$ мож­но на­хо­дить с по­мо­щью Му­ав­ра фор­му­лы, вы­ра­жая их че­рез мно­го­чле­ны от $\sin α$ и $\cos α$.

Наи­бо­лее важ­ные со­от­но­ше­ния ме­ж­ду Т. ф. од­но­го ар­гу­мен­та: $$\sin^2α+\cos^2α=1,\,\,\text{tg}\,α\,\text{ctg}\,α=1;\\ 1+\text{tg}^2\,α=\frac{1}{\cos^2α},\,\,1+\text{ctg}^2α=\frac{1}{\sin^2α}.$$

Фор­му­лы, вы­ра­жаю­щие Т. ф. сум­мы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов (тео­ре­мы сло­же­ния), име­ют вид $$\sin(α±β)=\sin α \cos β±\cos α \sin β,\\ \cos(α±β)=\cos α \cos β∓\sin α\sin β,\\ \text{tg}\,(α±β)=\frac{\text{tg}\,α\pm\text{tg}\,β}{1∓\text{tg}\,α\,\text{tg}\,β}\\ \text{ctg}\,(α±β)=\frac{\text{ctg}\,α\,\text{ctg}\,β∓1}{\text{ctg}\,α\pm\text{ctg}\,β}.$$

Т. ф. двой­но­го ар­гу­мен­та мож­но вы­чис­лять по фор­му­лам $$\sin 2α=2\sin α \cos α,\\ \cos 2α=\cos^2 α-\sin^2 α=1-2\sin^2 α,\\ \text{ctg}\,2α=\frac{\text{ctg}^2\,α-1}{2\text{ctg}\,α}=\frac{\text{ctg}\,α-\text{tg}\,α}{2}.$$

Т. ф. по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та мож­но вы­чис­лять по фор­му­лам$$\sin \frac{α}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos α}{2}},\,\,\cos\frac{α}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos α}{2}}$$(знак пе­ред ра­ди­ка­лом оп­ре­де­ля­ет­ся чет­вер­тью, к ко­то­рой при­над­ле­жит ар­гу­мент),$$\text{tg}\,\frac{α}{2}=\frac{1-\cos α}{\sin α}=\frac{\sin α}{1+\cos α},\\ \text{ctg}\,\frac{α}{2}=\frac{1+\cos α}{\sin α}=\frac{\sin α}{1-\cos α}.$$

Все Т. ф. вы­ра­жа­ют­ся че­рез тан­генс по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та $$\sin α=\frac{2\text{tg}\,\frac{α}{2}}{1+\text{tg}^2 \frac{α}{2}}\,\, \cos α=\frac{1-\text{tg}^2\frac{α}{2}}{1+\text{tg}^2\,\frac{α}{2}},\\ \text{tg}\,α=\frac{2\text{tg}\,\frac{α}{2}}{1-\text{tg}^2\,\frac{α}{2}}\,\, \text{ctg}\,α=\frac{1-\text{tg}^2\,\frac{α}{2}}{2\text{tg}\,\frac{α}{2}}.$$

Для сумм и раз­но­стей Т. ф. спра­вед­ли­вы фор­му­лы$$\sin α \pm \sin β = 2\sin\frac{α\pm β}{2}\cos\frac{α\mp β}{2},\\ \cos α + \cos β = 2\cos\frac{α+β}{2}\cos\frac{α-β}{2},\\ \cos α - \cos β=2\sin\frac{α+β}{2}\sin\frac{β-α}{2},\\ \text{tg}\,α\pm \text{tg}\,β=\frac{\sin(α\pm β)}{\cos α \cos β},\\ \text{ctg}\,α\pm \text{ctg}\,β=\frac{\sin(α\pm β)}{\sin α\sin β}.$$

Для про­из­ве­де­ний Т. ф. спра­вед­ли­вы фор­му­лы
$$\sin α\sin β=\frac{\cos(α-β)-\cos(α+β)}{2},\\ \cos α\cos β=\frac{\cos(α-β)-\cos(α+β)}{2},\\ \sin α\sin β=\frac{\sin(α-β)\sin(α+β)}{2},\\ \text{tg}\,α \text{tg}\,β=\frac{\text{tg}\,α+\text{tg}\,β}{\text{ctg}\,α+\text{ctg}\,β}.$$

Сте­пе­ни Т. ф. мож­но на­хо­дить по фор­му­лам$$\sin^2 α=\frac{1-\cos 2α}{2},\\ \cos^2 α=\frac{1+\cos 2α}{2},\\ \sin^3 α=\frac{3\sin α - \sin 3α}{4},\\ \cos^3 α=\frac{3\cos α+\cos 3α}{4}.$$

Ка­ж­дая Т. ф. в ка­ж­дой точ­ке сво­ей об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния не­пре­рыв­на и бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­ма. Про­из­вод­ные Т. ф. и ин­те­гра­лы от них суть$$(\sin α)'=\cos α,\,\,(\cos α)'=–\sin α,\\ (\text{tg}\,α)'=\frac{1}{\cos^2 x},\,\,(\text{ctg}\,α)'=\frac{1}{\sin^2 x},\\ \int\sin αdα=-\cos α + C,\\ \int\cos αdα=\sin α + C,\\ \int\text{tg}\,αdα=-\ln |\cos α|+C,\\ \int\text{ctg}\,α=\ln|\sin α|+C.$$

Все Т. ф. до­пус­ка­ют раз­ло­же­ния в сте­пен­ные ря­ды. Ря­ды для си­ну­са и ко­си­ну­са име­ют вид$$\sin α=α-\frac{α^3}{3!}+\frac{α^5}{5}-...+(-1)^n\frac{α^{2n+1}}{(2n+1)!}+...,\\ \cos α=1-\frac{α^2}{2!}+\frac{α^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{α^{2n}}{(2n)!}+...,$$эти ря­ды схо­дят­ся при всех дей­ст­ви­тель­ных $α$, от­рез­ки этих ря­дов мож­но ис­поль­зо­вать для по­лу­че­ния при­бли­жен­ных зна­че­ний си­ну­са и ко­си­ну­са при ма­лых зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та:$$\sin α\approx α-\frac{α^3}{6}\approx α,\\ \cos α\approx 1-\frac{α^2}{2}+\frac{α^4}{24}\approx 1-\frac{α^2}{2};$$ря­ды для тан­ген­са и ко­тан­ген­са име­ют вид$$\text{tg}\,α=α+\frac{1}{3}α^3+\frac{2}{15}α^5+\frac{17}{315}α^7+...,\\ |α| < π/2,\\ \text{ctg}\,α=\frac{1}{α}- \left(  \frac{α}{3}+\frac{α^3}{45}+\frac{2α^5}{945}... \right),\,\, 0 < |α| < π.$$

Функ­ции, об­рат­ные Т. ф., яв­ля­ют­ся мно­го­знач­ны­ми, их обо­зна­че­ния по­лу­ча­ют­ся из обо­зна­че­ний Т. ф. до­бав­ле­ни­ем пре­фик­са Arc, напр., функ­ция, об­рат­ная си­ну­су, обо­зна­ча­ет­ся Arcsin; для обо­зна­че­ния глав­ных вет­вей этих мно­го­знач­ных функ­ций (они яв­ля­ют­ся од­но­знач­ны­ми функ­ция­ми) ис­поль­зу­ет­ся пре­фикс arc, напр., arcsin (см. Об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции). Про­стей­шие три­го­но­мет­рич. урав­не­ния ре­ша­ют­ся с по­мо­щью сле­дую­щих фор­мул. Ре­ше­ния урав­не­ний $\sin α=a$, $\cos α=a$, где $a$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, $∣a∣ ⩽ 1$, суть $$α=(–1)^n\arcsin a+kπ,\\ α=±\arccos a+2kπ,\,k=0,±1,±2,...\,.$$ Ре­ше­ния урав­не­ний $\text{tg}\,α=a$, $\text{ctg}\,α=a$ для лю­бо­го дей­ст­ви­тель­но­го $a$ суть $$α=\text{arctg}\,a+kπ,\,α=\text{arcctg}\,a+kπ,\,k=0,±1,±2,...\,.$$

Т. ф. оп­ре­де­ля­ют­ся так­же для ком­плекс­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та как ана­ли­тич. про­дол­же­ния Т. ф. дей­ст­ви­тель­но­го ар­гу­мен­та.

Т. ф. поя­ви­лись в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми в ас­тро­но­мии и гео­мет­рии. Со­от­но­ше­ния от­рез­ков в тре­уголь­ни­ке и ок­руж­но­сти, яв­ляю­щие­ся, по су­ще­ст­ву, Т. ф., встре­ча­ют­ся уже в ра­бо­тах ма­тема­ти­ков Древ­ней Гре­ции – Евк­ли­да, Ар­хи­ме­да, Апол­ло­ния Перг­ско­го и др. Од­на­ко эти со­от­но­ше­ния не яв­ля­ют­ся у них са­мо­сто­ят. объ­ек­том ис­сле­до­ва­ния, так что Т. ф. как та­ко­вые ими не изу­ча­лись. Т. ф. рас­смат­ри­ва­лись как от­рез­ки и в та­ком ви­де при­ме­ня­лись Ари­стар­хом Са­мос­ским, Гип­пар­хом, Ме­не­ла­ем и Пто­ле­ме­ем при ре­ше­нии сфе­рич. тре­уголь­ни­ков. Пто­ле­мей со­ста­вил пер­вую таб­ли­цу хорд для ост­рых уг­лов че­рез 30´ с точ­но­стью до 10^–6. Это бы­ла пер­вая таб­ли­ца си­ну­сов. Фор­му­лы пре­об­ра­зо­ва­ния сумм Т. ф. в про­из­ве­де­ния вы­во­ди­лись Ре­гио­мон­та­ном и Дж. Не­пе­ром в свя­зи с изо­бре­те­ни­ем по­след­ним ло­га­риф­мов (1614). Ре­гио­мон­тан дал таб­лицу си­ну­сов че­рез 1´. Раз­ло­же­ния Т. ф. в сте­пен­ные ря­ды по­лу­че­ны И. Нью­то­ном (1669). В совр. фор­му тео­рию Т. ф. при­вёл Л. Эй­лер (18 в.), ко­то­рый пред­ло­жил и при­ня­тую ны­не сим­во­ли­ку.