МУА́ВРА ФО́РМУЛА
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МУА́ВРА ФО́РМУЛА, формула, дающая правило для возведения в степень $n$ комплексного числа, представленного в тригонометрич. форме $$z=ρ(\cos j+i\sin j)$$. Согласно М. ф., модуль $ρ$ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент $φ$ умножается на показатель степени $$z^n=[ρ(\cos φ+i \sin φ)]^n= ρ^n(\cos nφ+i \sin nφ).$$ Эта формула найдена А. де Муавром (1707); совр. запись предложена Л. Эйлером (1748). М. ф. может быть использована для выражения $\cos nφ$ и $\sin nφ$ через степени $\cos φ$ и $\sin φ$: положив в М. ф. $ρ=1$ и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получают $$\cos nφ=\cos ^nφ-C_n^2\cos^{n–2}φ\sin^2φ + C_n^4\cos^{n–4}φ \sin^4φ-...,$$ $$\sin nφ=C_n^1\cos^{n–1}φ\sinφ-C_n^3\cos^{n–3}φ\sin^3φ+\, ...,$$ где $C_n^m=n!/(m!(n-m)!)$ – биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином).