НЬЮ́ТОНА БИНО́М

НЬЮ́ТОНА БИНО́М, фор­му­ла, вы­ра­жаю­щая лю­бую це­лую по­ло­жи­тель­ную сте­пень сум­мы двух сла­гае­мых (би­но­ма) че­рез сте­пе­ни этих сла­гае­мых. Эта фор­му­ла, ино­гда на­зы­вае­мая раз­ло­же­ни­ем би­но­ма, име­ет вид

$$(a+b)^n=a^n+\frac{n}{1}a^{n-1} b+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot2}a^{n-2}b^2+ \cdots+ \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)} {1 \cdot2 \cdot \ldots \cdot k} a^{n-k}b^k + \ldots +b^n, (*)$$ или, что то же са­мое, $$(a+b)^n=\sum^{n}_{k=0}C^k_n a^{n-k}b^k,$$ где $n$ – це­лое по­ло­жи­тель­ное чис­ло, $a\quad и\quad b$ – про­из­воль­ные чис­ла, ве­ли­чи­ны вы­чис­ля­ют­ся че­рез фак­то­риа­лы

 >>

чи­сел $n, k \quad и\quad n-k$ по фор­му­ле $$C^k_n=\frac{n!}{k! (n-k)!}$$

Ча­ст­ны­ми слу­чая­ми Н. б. при $n=2$ и $n=3$ яв­ля­ют­ся из­вест­ные фор­му­лы для квад­ра­та и ку­ба сум­мы $a \quad и \quad b$:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ $$при \quad n=4$$ $$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$ и т. д.

Чис­ла $C^k_n$(ино­гда они обо­зна­ча­ют­ся $\big(\frac{k}{n}\big)$) на­зы­ва­ют­ся би­но­ми­аль­ны­ми ко­эффи­ци­ен­та­ми, их мож­но по­лу­чить с по­мо­щью тре­уголь­ни­ка Пас­ка­ля (ариф­ме­тич. тре­уголь­ни­ка, он изу­чал­ся Б. Пас­ка­лем

 в 1654, опубл. в 1665). Так на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ная чи­сло­вая таб­ли­ца, по бо­ко­вым сто­ро­нам ко­то­рой сто­ят еди­ни­цы, а чис­ла внут­ри таб­ли­цы, на­чи­ная с треть­ей стро­ки, по­лу­ча­ют­ся сло­же­ни­ем двух чи­сел, стоя­щих над дан­ным: $$\begin{matrix} 1 \\ 1 &1\\ 1 & 2 & 1 \\ 1&3&3&1\\ 1&4&6&4&1\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots \end{matrix}$$ ($n+1$)-я стро­ка даёт би­но­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты для раз­ло­же­ния би­но­ма $(a+b)^n$. Би­но­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты об­ла­да­ют мн. важ­ны­ми свой­ст­ва­ми: в ка­ж­дой стро­ке тре­уголь­ни­ка Пас­ка­ля край­ние чис­ла рав­ны еди­ни­це, чис­ла, рав­но­от­стоя­щие от кон­цов, оди­на­ко­вы, чис­ла воз­рас­та­ют от кра­ёв к се­ре­ди­не, сум­ма всех чи­сел, стоя­щих в ($n+1$)-й стро­ке,т. е. $\sum_{k=0}^n C^k_n$, рав­на $2n$; спра­вед­ли­во равен­ст­во $C_n^k=C_{n}^{k+1}=C^{k+1}_{n+1}$. Би­но­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты уча­ст­ву­ют во мно­гих важ­ных фор­му­лах, см., напр., Ком­би­на­тор­ные чис­ла и мно­го­чле­ны

 >>

, Лейб­ни­ца фор­му­ла

 >>

.

вен­ст­во . Би­но­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты уча­ст­ву­ют во мно­гих важ­ных фор­му­лах, см., напр., Ком­би­на­тор­ные чис­ла и мно­го­чле­ны

, Лейб­ни­ца фор­му­ла

 >>

.

Фор­му­ла Н. б. для це­лых по­ло­жи­тель­ных по­ка­за­те­лей бы­ла из­вест­на за­дол­го до И. Нью­то­на

, но им бы­ла ука­за­на (1664–65) воз­мож­ность рас­про­стра­не­ния это­го раз­ло­же­ния на слу­чай дроб­но­го или от­ри­ца­тель­но­го по­ка­за­те­ля (стро­гое обос­но­ва­ние это­го бы­ло да­но Н. Абе­лем

 >>

, 1826). В этом бо­лее об­щем слу­чае фор­му­ла Н. б. на­чи­на­ет­ся так ­же, как фор­му­ла ( * ); ко­эф­фи­ци­ен­том при $a^{n-k}b^k$ яв­ля­ется ве­ли­чи­на $\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot k}$, ко­то­рая в слу­чае це­ло­го по­ло­жи­тель­но­го 

$n$ об­ра­ща­ет­ся в нуль при лю­бом $k>n$, вслед­ст­вие че­го фор­му­ла ( * ) со­дер­жит лишь ко­неч­ное чис­ло сла­гае­мых. В слу­чае же дроб­но­го или от­ри­ца­тель­но­го $n$ все ко­эф­фи­ци­ен­ты би­но­ма от­лич­ны от ну­ля и пра­вая часть фор­му­лы яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­ным ря­дом. Ес­ли $|b|<|a|$, то этот ряд схо­дит­ся, т. е., взяв дос­та­точ­но боль­шое чис­ло его чле­нов, мож­но по­лу­чить ве­ли­чи­ну, сколь угод­но близ­кую к $(a+b)^n$.