НЬЮ́ТОНА БИНО́М
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЬЮ́ТОНА БИНО́М, формула, выражающая любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома) через степени этих слагаемых. Эта формула, иногда называемая разложением бинома, имеет вид$$(a+b)^n=a^n+\frac{n}{1}a^{n-1} b+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot2}a^{n-2}b^2+ \cdots+ \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)} {1 \cdot2 \cdot \ldots \cdot k} a^{n-k}b^k + \ldots +b^n, (*)$$или, что то же самое,$$(a+b)^n=\sum^{n}_{k=0}C^k_n a^{n-k}b^k,$$где $n$ – целое положительное число, $a\quad и\quad b$ – произвольные числа, величины вычисляются через факториалы чисел $n, k \quad и\quad n-k$ по формуле$$C^k_n=\frac{n!}{k! (n-k)!}$$
Частными случаями Н. б. при $n=2$ и $n=3$ являются известные формулы для квадрата и куба суммы $a \quad и \quad b$:$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, $$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3, $$ $$при \quad n=4$$ $$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$и т. д.
Числа $C^k_n$(иногда они обозначаются $\big(\frac{k}{n}\big)$) называются биномиальными коэффициентами, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (арифметич. треугольника, он изучался Б. Паскалем в 1654, опубл. в 1665). Так называется треугольная числовая таблица, по боковым сторонам которой стоят единицы, а числа внутри таблицы, начиная с третьей строки, получаются сложением двух чисел, стоящих над данным:$$\begin{matrix} 1 \\ 1 &1\\ 1 & 2 & 1 \\ 1&3&3&1\\ 1&4&6&4&1\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots \end{matrix}$$($n+1$)-я строка даёт биномиальные коэффициенты для разложения бинома $(a+b)^n$. Биномиальные коэффициенты обладают мн. важными свойствами: в каждой строке треугольника Паскаля крайние числа равны единице, числа, равноотстоящие от концов, одинаковы, числа возрастают от краёв к середине, сумма всех чисел, стоящих в ($n+1$)-й строке,т. е. $\sum_{k=0}^n C^k_n$, равна $2n$; справедливо равенство $C_n^k=C_{n}^{k+1}=C^{k+1}_{n+1}$. Биномиальные коэффициенты участвуют во многих важных формулах, см., напр., Комбинаторные числа и многочлены, Лейбница формула.
венство . Биномиальные коэффициенты участвуют во многих важных формулах, см., напр., Комбинаторные числа и многочлены, Лейбница формула.
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона, но им была указана (1664–65) возможность распространения этого разложения на случай дробного или отрицательного показателя (строгое обоснование этого было дано Н. Абелем, 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула ( * ); коэффициентом при $a^{n-k}b^k$ является величина $\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot k}$, которая в случае целого положительного
$n$ обращается в нуль при любом $k>n$, вследствие чего формула ( * ) содержит лишь конечное число слагаемых. В случае же дробного или отрицательного $n$ все коэффициенты бинома отличны от нуля и правая часть формулы является бесконечным рядом. Если $|b|<|a|$, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к $(a+b)^n$.