СТЬЮ́ДЕНТА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

СТЬЮ́ДЕНТА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ ($t$-рас­пре­де­ле­ние) с $n$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $T$, плот­ность ко­то­ро­го $$s_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n\pi}} \frac{ Γ \left( \frac{n+1}{2} \right) } {Γ \left( \frac{n}{2} \right)}  \left( 1 + \frac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}},$$ $$_{-\infty < x < \infty},$$ где $Γ$ – гам­ма-функ­ция. При $n=1$ С. р. сов­па­да­ет с Ко­ши рас­пре­де­ле­ни­ем

, при $n→∞$ ап­прок­си­ми­ру­ет­ся стан­дарт­ным нор­маль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем

 >>

. Плот­ность С. р. од­но­вер­шин­на и сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но точ­ки $x=0$. Ма­те­ма­тич. ожи­да­ние рав­но ну­лю при $n > 1$, дис­пер­сия рав­на $n/(n-2)$ при $n > 2$, мо­мен­ты по­ряд­ка $r$ ко­неч­ны при $r < n$.

С. р. мож­но оп­ре­де­лить как рас­пре­де­ле­ние от­но­ше­ния $T=X/Y$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$, где $X$ име­ет стан­дарт­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние, а $nY^2$ име­ет хи-квад­рат рас­пре­де­ле­ние

с $n$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды. Важ­ная роль С. р. в ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке объ­яс­ня­ет­ся сле­дую­щим фак­том: ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1$, $...$, $X_n$ не­за­ви­си­мы и име­ют нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с па­ра­мет­ра­ми $a$ и $σ^2$, то при лю­бых дей­ст­ви­тель­ных $a$ и $σ > 0$ ве­ли­чи­на $$t=\sqrt{n}(\overline{X}- a)/s,$$ где $$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j,\\ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X})^2,$$ име­ет С. р. с $n-1$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды. Это свой­ст­во бы­ло впер­вые ис­поль­зо­ва­но англ. ма­те­ма­ти­ком У. Гос­се­том (ко­то­рый пуб­ли­ко­вал свои ра­бо­ты под псевд. Стью­дент) в 1908 для по­строе­ния кри­терия про­вер­ки ги­по­те­зы о том, что ма­те­ма­тич. ожи­да­ние $a$ нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния рав­но за­дан­но­му чис­лу $a_0$ в слу­чае, ко­гда дис­пер­сия не­из­вест­на (см. Ста­ти­сти­че­ских ги­по­тез про­вер­ка). В ус­ло­ви­ях этой за­да­чи С. р. ис­поль­зу­ет­ся так­же для по­строе­ния до­ве­ри­тель­но­го ин­тер­ва­ла

 >>

для не­из­вест­но­го зна­че­ния $a$. С. р. ис­поль­зу­ет­ся и в дру­гих за­да­чах об­ра­бот­ки ста­ти­стич. дан­ных.