ОПРЕДЕЛИ́ТЕЛЬ

ОПРЕДЕЛИ́ТЕЛЬ квад­рат­ной мат­ри­цы $A$ по­ряд­ка $n$, мно­го­член от эле­мен­тов мат­ри­цы $A=\begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}$, ка­ж­дый член ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем $n$ эле­мен­тов, взя­тых по од­но­му из ка­ж­дой стро­ки и ка­ж­до­го столб­ца, и снаб­жён оп­ре­де­лён­ным зна­ком, т. е. мно­го­член $$\sum(-1)^ta_{1i_1}a_{2i_2}\dots a_{ni_n}.\quad\tag{*}$$ Здесь сум­ми­ро­ва­ние про­во­дит­ся по всем пе­ре­ста­нов­кам $i_1,i_2,\dots,i_n$ чи­сел $1,2,\dots,n$, а $t$ – чис­ло ин­вер­сий в этой пе­ре­ста­нов­ке, т. е. чис­ло пар $i_k$, $i_l$, $1 \leq k \lt l \leq n$ та­ких, что $i_k \gt i_l$. Этот мно­го­член со­дер­жит $n!$ чле­нов, из ко­то­рых $n!/2$ бе­рёт­ся со зна­ком плюс и $n!/2$ – со зна­ком ми­нус. Чис­ло $n$ на­зы­ва­ет­ся по­ряд­ком оп­ре­де­ли­те­ля.

О. мат­ри­цы $$A= \begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{Vmatrix}$$ час­то на­зы­ва­ют её де­тер­ми­нан­том и обо­зна­ча­ют $\text{det} A, \text{det} \begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}, \begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}$ или, бо­лее под­роб­но,  $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}.$$

Для О. 2-го и 3-го по­ряд­ков фор­му­ла $(*)$ при­ни­ма­ет вид  $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.$$

О. об­ла­да­ют важ­ны­ми свой­ст­ва­ми, ко­то­рые, в ча­ст­но­сти, об­лег­ча­ют их вы­чис­ле­ние. Про­стей­шие из этих свойств сле­дую­щие.

1) О. не из­ме­нит­ся, ес­ли в нём стро­ки и столб­цы по­ме­нять мес­та­ми (т. е. О. квад­рат­ной мат­ри­цы $A$ ра­вен О. транс­по­ни­ро­ван­ной мат­ри­цы $A^T$):

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n2}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} .$$

2) О. ме­ня­ет знак, ес­ли по­ме­нять мес­та­ми лю­бые две стро­ки или два столб­ца мат­ри­цы.

3) О. ра­вен ну­лю, ес­ли эле­мен­ты двух строк или двух столб­цов со­от­вет­ст­вен­но про­пор­цио­наль­ны.

4) Об­щий мно­жи­тель всех эле­мен­тов лю­бой стро­ки или столб­ца мож­но вы­но­сить за знак оп­ре­де­ли­те­ля.

5) Ес­ли ка­ж­дый эле­мент к.-л. стро­ки (столб­ца) есть сум­ма двух сла­гае­мых, то О. ра­вен сум­ме двух О., при­чём в од­ном из них со­от­вет­ст­вую­щая стро­ка (стол­бец) со­сто­ит из пер­вых сла­гае­мых, а в дру­гом – из вто­рых сла­гае­мых, ос­таль­ные же стро­ки (столб­цы) – те же, что и в дан­ной мат­ри­це.

6) О. не из­ме­нит­ся, ес­ли к эле­мен­там од­ной стро­ки (столб­ца) при­ба­вить эле­мен­ты др. стро­ки (столб­ца), ум­но­жен­ные на про­из­воль­ный мно­жи­тель.

7) О. тре­уголь­ной мат­ри­цы ра­вен про­из­ве­де­нию эле­мен­тов её глав­ной диа­го­на­ли:  $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22} \ldots a_{nn}.$$

Ес­ли эле­мен­ты $a_{ij}$ мат­ри­цы $A$ при­над­ле­жат не­ко­то­ро­му по­лю

, то $\det A$ есть эле­мент то­го же по­ля. О. мож­но рас­смат­ри­вать как функ­цию, оп­ре­де­лён­ную на мно­же­ст­ве всех квад­рат­ных мат­риц по­ряд­ка $n$ над по­лем $K$ со зна­че­ния­ми в $K$. Ока­зы­ва­ет­ся, что су­ще­ст­ву­ет лишь од­на функ­ция, об­ла­даю­щая свой­ст­ва­ми 3), 4), 5), 7). Это мо­жет быть по­ло­же­но в ос­но­ву ак­сио­ма­тич. по­строе­ния тео­рии оп­ре­де­ли­те­лей.

Пе­ре­чис­лен­ные свой­ст­ва ис­поль­зу­ют­ся при вы­чис­ле­нии О. мат­ри­цы над лю­бым по­лем. Напр., сна­ча­ла при по­мо­щи эле­мен­тар­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, т. е. с ис­поль­зо­ва­ни­ем свойств 2), 4), 6), мат­рица при­во­дит­ся к тре­уголь­но­му ви­ду, а за­тем при­ме­ня­ет­ся свой­ст­во 7). Дру­гой ме­тод вы­чис­ле­ния О. (при ко­то­ром по­ни­жа­ет­ся по­ря­док О.) ос­но­ван на сле­дую­щей фор­му­ле, даю­щей раз­ло­же­ние О. по про­из­воль­ной стро­ке $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}= a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \ldots +a_{in}A_{in} ,$$ где $A_{ij},i,j=1,2,\dots,n,$ – ал­геб­ра­ич. допол­не­ние эле­мен­та $a_{ij}$, т. е. $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, а $M_{ij}$ – до­пол­ни­тель­ный ми­нор к эле­мен­ту $a_{ij}$, т. е. О. мат­ри­цы по­ряд­ка $(n-1)$, по­лу­чен­ной из мат­ри­цы $A$ вы­бра­сы­ва­ни­ем $i$-й стро­ки и $j$-го столб­ца. Ана­ло­гич­ная фор­му­ла да­ёт раз­ло­же­ние О. по про­из­воль­но­му столб­цу. Раз­ло­же­ние О. по стро­ке мо­жет быть по­ло­же­но в ос­но­ву ин­дук­тив­но­го по­строе­ния тео­рии оп­ре­де­ли­те­лей.

Тео­рия О. воз­ник­ла в свя­зи с за­да­чей ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний и свя­зан­ны­ми с ней во­про­са­ми ана­ли­тич. гео­мет­рии. О. 2-го и 3-го по­ряд­ков над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел до­пус­ка­ют про­стое гео­мет­рич. ис­тол­ко­ва­ние: аб­со­лют­ная ве­ли­чи­на О. $\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ \end{vmatrix}$  рав­на пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ евк­ли­до­вой плос­ко­сти, а аб­со­лют­ная ве­ли­чи­на О. $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\\ \end{vmatrix}$  рав­на объ­ё­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, по­стро­ен­но­го на век­то­рах $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ и $(x_3,y_3,z_3)$ 3-мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва (сис­те­мы ко­ор­ди­нат пред­по­ла­га­ют­ся пря­мо­уголь­ны­ми). Мно­гие фор­му­лы ана­ли­тич. гео­мет­рии удоб­но за­пи­сы­вать с по­мо­щью О.; напр., урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей че­рез точ­ки с ко­ор­ди­на­та­ми $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$, мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де  $$\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_1 & y_1 & z_1 & 1\\ x_2 & y_2 & z_2 & 1\\ x_3 & y_3 & z_3 & 1\\ \end{vmatrix}= 0.$$

В ма­те­ма­тич. ана­ли­зе рас­смат­ри­ва­ют­ся функ­цио­наль­ные О., т. е. оп­ре­де­ли­те­ли мат­риц, эле­мен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся функ­ции, од­ним из та­ких О. яв­ля­ет­ся яко­би­ан

.

Тер­мин «О.» в со­вре­мен­ном его зна­че­нии ввёл О. Ко­ши

(1815), хо­тя ра­нее (1801) «де­тер­ми­нан­том» К. Га­усс

 >>

на­зы­вал дис­кри­ми­нант квад­ра­тич­ной фор­мы. Идея ис­поль­зо­ва­ния О. при­над­ле­жит Г. В. Лейб­ни­цу

 >>

, ко­то­рый ис­поль­зо­вал О. (1693) при ре­ше­нии сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний

 >>

. В 1750 ме­тод О. был вновь раз­ра­бо­тан Г. Кра­ме­ром

 >>

. Франц. ма­те­ма­тик А. Ван­дер­монд (1772) опуб­ли­ко­вал пер­вое об­шир­ное ис­сле­до­ва­ние, по­свя­щён­ное О. Пер­вые пол­ные из­ло­же­ния тео­рии О. да­ны в 1812 франц. ма­те­ма­ти­ком Ж. Би­не и О. Ко­ши. Обо­зна­че­ние – вер­ти­каль­ные ли­нии – ввёл А. Кэ­ли

 >>

(1841).