ВОЛНОВО́Е УРАВНЕ́НИЕ

ВОЛНОВО́Е УРАВНЕ́НИЕ, ли­ней­ное од­но­род­ное диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние в ча­ст­ных про­из­вод­ных, опи­сы­ваю­щее рас­про­стра­не­ние волн в сре­де; име­ет вид: $$□W =△W-c^{–2}𝜕^2W/𝜕t^2=𝜕^2W/𝜕x^2+𝜕^2W/𝜕y^2+𝜕^2W/𝜕z^2-c^{–2}𝜕^2W/𝜕t^2 = 0,$$ где $t$ – вре­мя, $х, y, z$ – про­стран­ст­венные де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты, $W = W(x, y, z, t)$ – функ­ция, ха­рак­те­ри­зую­щая воз­му­ще­ние сре­ды в точ­ке с ко­ор­ди­на­та­ми $x, y, z$ в мо­мент вре­ме­ни $t$, $c$ – па­ра­метр с раз­мер­но­стью ско­ро­сти, $□$ – опе­ра­тор Д’Аламбера (да­лам­бер­ти­ан), $△$ – опе­ра­тор Ла­п­ла­са (ла­п­ла­си­ан). Пер­во­на­чаль­но В. у. бы­ло по­лу­че­но для од­но­мер­но­го слу­чая прак­ти­че­ски од­но­вре­мен­но (40-е гг. 18 в.) Д. Бер­нул­ли

Од­но­мер­ное В. у. сов­па­да­ет с урав­не­ни­ем ко­ле­ба­ний иде­аль­но уп­ру­гой стру­ны: $$𝜕^2W/𝜕x^2 = c^{–2}𝜕^2W/𝜕t^2,$$ ре­ше­ние ко­то­ро­го мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де двух волн, пе­ре­ме­щаю­щих­ся в про­стран­ст­ве со ско­ро­стью $c$: $$W = f_1(x + ct) + f_2(x - ct).$$ Ка­ж­дая из этих волн и со­став­ля­ет мо­ду, рас­про­стра­няю­щую­ся толь­ко в од­ном на­прав­ле­нии ($+х$ или $–х$) и удов­ле­тво­ряю­щую В. у. 1-го по­ряд­ка (урав­не­нию вол­ны): $$𝜕W/𝜕x ± c^{–1}𝜕W/𝜕t = 0.$$ В. у. до­пус­ка­ет раз­де­ле­ние пе­ре­мен­ных по ко­ор­ди­на­там и вре­ме­ни: $W = W1(x, y, z)φ(t)$. При гар­мо­нич. за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни, вы­ра­жен­ной с по­мо­щью ком­плекс­ной за­пи­си $φ =  exp(iωt)$, где $ω = 𝑘c$, $𝑘$ – вол­но­вое чис­ло, В. у. пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние Гельм­голь­ца: $$△W + 𝑘^2W = 0,$$ ко­то­рое в дву­мер­ном слу­чае да­ёт урав­не­ние мем­бра­ны, а в од­но­мер­ном – урав­не­ние ос­цил­ля­то­ра.

В. у. мо­жет быть не­од­но­род­ным, ес­ли в его пра­вой час­ти сто­ит за­дан­ная функ­ция ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни, т. е. $$□W = f(x, y, z, t).$$ Не­од­но­род­ное В. у. кро­ме собств. ре­ше­ний – нор­маль­ных волн, су­ще­ст­вую­щих не­за­ви­си­мо от внеш­не­го ис­точ­ни­ка, – име­ет и вы­ну­ж­ден­ное ре­ше­ние, опи­сы­ваю­щее ко­ле­ба­ния, вол­ны и др. дви­же­ния, воз­бу­ж­дён­ные ис­точ­ни­ком.

В. у. опи­сы­ва­ет поч­ти все раз­но­вид­но­сти ма­лых ко­ле­ба­ний в рас­пре­де­лён­ных ме­ха­нич. сис­те­мах: про­доль­ные зву­ко­вые ко­ле­ба­ния в га­зе, жид­ко­сти, твёр­дом те­ле, по­пе­реч­ные ко­ле­ба­ния в стру­нах, на по­верх­но­сти жид­ко­сти и др. В. у. удов­ле­тво­ря­ют ком­по­нен­ты век­то­ров элек­тро­маг­нит­но­го по­ля и по­тен­циа­лов, по­это­му мн. элек­тро­маг­нит­ные яв­ле­ния (в диа­па­зо­не час­тот от ква­зи­ста­ти­че­ских до оп­ти­че­ских) опи­сы­ва­ют­ся с его по­мо­щью. В не­ли­ней­ных сре­дах та­кие яв­ле­ния, как взаи­мо­дей­ст­вие мо­но­хро­ма­тич. волн, воз­ник­но­ве­ние и эво­лю­ция удар­ных волн и со­ли­то­нов, са­мо­фо­ку­си­ров­ка и са­мо­ка­на­ли­за­ция волн, мо­гут быть опи­са­ны с по­мо­щью не­ли­ней­ных В. у. В кван­то­вой ме­ха­ни­ке ино­гда Шрё­дин­ге­ра урав­не­ние