ПУАНКАРЕ́ ТЕОРЕ́МА

ПУАНКАРЕ́ ТЕОРЕ́МА о воз­вра­ще­нии, ха­рак­те­ри­зу­ет по­ве­де­ние адиа­ба­ти­че­ски изо­ли­ро­ван­ной ди­на­ми­че­ской сис­те­мы, об­ла­даю­щей фик­си­ро­ван­ной пол­ной энер­ги­ей и ин­ва­ри­ант­ной (по от­но­ше­нию к урав­не­ни­ям дви­же­ния) ме­рой. До­ка­за­на А. Пу­ан­ка­ре в 1890. Ин­ва­ри­ант­ной ме­рой слу­жит эле­мен­тар­ный объ­ём фа­зо­во­го про­стран­ст­ва, со­хра­няю­щий­ся в со­от­вет­ст­вии с Лиу­вил­ля тео­ре­мой. Со­глас­но П. т., че­рез лю­бую ок­ре­ст­ность U лю­бой точ­ки фа­зо­во­го про­стран­ст­ва, при­над­ле­жа­щей ин­ва­ри­ант­но­му мно­же­ст­ву ко­неч­ной по­ло­жит. ме­ры, про­хо­дит тра­ек­то­рия, ко­то­рая воз­вра­ща­ет­ся в U. Вре­мя, за ко­то­рое тра­ек­то­рия воз­вра­ща­ет­ся в U, на­зы­ва­ет­ся вре­ме­нем воз­вра­та Пу­ан­ка­ре.

В тер­мо­ди­на­ми­ке ука­зан­ная сис­те­ма со­от­вет­ст­ву­ет мик­ро­ка­но­нич. ан­самб­лю Гиб­бса, за­дан­но­му с точ­но­стью до флук­туа­ций энер­гии. Од­на­ко свой­ст­вам ре­аль­ной тер­мо­ди­на­мич. сис­те­мы, на­хо­дя­щей­ся в те­п­ло­вом кон­так­те с внеш­ним ок­ру­же­ни­ем, боль­ше со­от­вет­ст­ву­ет ка­но­нич. или боль­шой ка­но­нич. ан­самбль Гиб­бса (см. в ст. Гиб­бса рас­пре­де­ле­ния). Для этих ан­самб­лей до­пус­ка­ет­ся об­мен ме­ж­ду сис­те­мой и внеш­ней сре­дой те­п­ло­той и ко­ли­че­ст­вом ве­ще­ст­ва со­от­вет­ст­вен­но, од­на­ко П. т. со­хра­ня­ет спра­вед­ли­вость в обоб­щён­ном – а имен­но в ус­ред­нён­ном – смыс­ле. Это свя­за­но с тем, что ука­зан­ные ан­самб­ли пред­став­ля­ют со­бой ве­ро­ят­но­ст­ное рас­пре­де­ле­ние (су­пер­по­зи­цию) мик­ро­ка­но­нич. ан­самб­лей. М. Смо­лу­хов­ский (1915) по­ка­зал, что в этом слу­чае вме­сто ди­на­мического име­ет ме­сто слу­чай­ный про­цесс бро­унов­ско­го ти­па, при­чём вре­мя воз­вра­та Пу­ан­ка­ре для та­ких ан­самб­лей зна­чи­тель­но пре­вы­ша­ет ве­ро­ят­ное вре­мя воз­вра­ще­ния не­рав­но­вес­но­го мак­ро­ско­пич. со­стоя­ния в ис­ход­ное рав­но­вес­ное со­стоя­ние.